Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур заключительного этапа


Задача №1.  Графики линейных функций y=ax+c, y=ax+d, y=bx+e, y=bx+f пересекаются в вершинах квадрата P. Могут ли точки K(a,c), L(a,d), M(b,e), N(b,f) располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату P? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно треугольника ABC. На продолжении отрезка CM за точку M отмечена точка D. Оказалось, что BC=BD=2 и AN=3. Докажите, что ADC=90. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На доске написаны числа 1, 2, , 1000. Разрешается стереть любые два числа a и b и записать вместо них числа ab и a2+b2. Можно ли такими операциями добиться, чтобы среди чисел, написанных на доске, было хотя бы 700 одинаковых? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дано натуральное число k. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более 3k детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в которой оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе? ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение(1)
результаты