Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Графики линейных функций y=ax+c, y=ax+d, y=bx+e, y=bx+f пересекаются в вершинах квадрата P. Могут ли точки K(a,c), L(a,d), M(b,e), N(b,f) располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату P?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно треугольника ABC. На продолжении отрезка CM за точку M отмечена точка D. Оказалось, что BC=BD=2 и AN=3. Докажите, что ∠ADC=90∘.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На доске написаны числа 1, 2, …, 1000. Разрешается стереть любые два числа a и b и записать вместо них числа ab и a2+b2. Можно ли такими операциями добиться, чтобы среди чисел, написанных на доске, было хотя бы 700 одинаковых?
(
М. Антипов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дано натуральное число k. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более 3k детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в которой оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе?
(
И. Богданов,
Г. Челноков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)