Processing math: 100%

Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры


Тақтада 1, 2, , 1000 сандары жазылған. Кез келген a және b екі сандарын өшіріп, олардың орнына ab және a2+b2 сандарын жазуға болады. Осындай оперцияны қолдану арқылы, тақтада жазылған сандардың кемінде 700-ін бірдей қылуға болады ма? ( М. Антипов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Проследим за количеством чисел на доске, кратных трём. Заметим, что если оба числа a, b делились на 3, то и оба новых числа — тоже, если ровно одно из чисел a, b было кратно трём, то ab кратно трём, а a2+b2 — нет. Наконец, если оба числа a, b не делились на 3, то и a2+b2 даёт остаток 2 при делении на 3, т. е. чисел, кратных трём, и не появляется. Таким образом, общее количество чисел, кратных трём, не меняется. Теперь заметим, что исходно таких чисел было 333 (3, 6, , 999), а если бы после нескольких операций на доске оказалось хотя бы 700 равных чисел, то чисел, кратных трём, было бы либо не менее 700, либо не более 300. Противоречие.