қазақша
русскийЛеонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры
Есеп №1. $y = ax+c,$ $y = ax+d,$ $y = bx+e,$ $y = bx+f$ сызықтың функциялары $P$ квадратының төбелерінде қиылысады. $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f)$ нүктелері $P$-ға тең квадраттың төбелерінде орналасуы мүмкін бе?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $M$ және $N$ нүктелері $ABC$ үшбұрышының сәйкесінше $AB$ және $BC$ қабырғаларының ортасы. $CM$ кесіндісінің $M$ нүктесінен арғы созындысында $D$ нүктесі белгіленген. Сонда $BC = BD = 2$ және $AN = 3$ болып шыққан. $\angle ADC = 90^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Тақтада 1, 2, $\ldots,$ 1000 сандары жазылған. Кез келген $a$ және $b$ екі сандарын өшіріп, олардың орнына $ab$ және $ a^2 + b^2$ сандарын жазуға болады. Осындай оперцияны қолдану арқылы, тақтада жазылған сандардың кемінде 700-ін бірдей қылуға болады ма?
(
М. Антипов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Натурал $k$ саны берілген. Қалада бірнеше бала бар, олар бірнеше үйірмеге қатысады. Әрбір үйірмеге қатысатын балалар саны $3k$-дан аспайды, кез-келген бала дәл үш үйірмеге қатысады, және кез-келген екі бала үшін, сол екеуі де қатысатын үйірме бар. Қалада ең көп дегенде қанша бала болуы мүмкін?
(
И. Богданов,
Г. Челноков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)