Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1.

$y = ax+c,$

$y = ax+d,$

$y = bx+e,$

$y = bx+f$ сызықтың функциялары

$P$ квадратының төбелерінде қиылысады.

$K(a, c),$

$L(a, d),$

$M(b, e),$

$N(b, f)$ нүктелері

$P$ -ға тең квадраттың төбелерінде орналасуы мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$M$ және

$N$ нүктелері

$ABC$ үшбұрышының сәйкесінше

$AB$ және

$BC$ қабырғаларының ортасы.

$CM$ кесіндісінің

$M$ нүктесінен арғы созындысында

$D$ нүктесі белгіленген. Сонда

$BC = BD = 2$ және

$AN = 3$ болып шыққан.

$\angle ADC = 90^\circ$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Тақтада 1, 2,

$\ldots,$ 1000 сандары жазылған. Кез келген

$a$ және

$b$ екі сандарын өшіріп, олардың орнына

$ab$ және

$a^2 + b^2$ сандарын жазуға болады. Осындай оперцияны қолдану арқылы, тақтада жазылған сандардың кемінде 700-ін бірдей қылуға болады ма? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Натурал

$k$ саны берілген. Қалада бірнеше бала бар, олар бірнеше үйірмеге қатысады. Әрбір үйірмеге қатысатын балалар саны

$3k$ -дан аспайды, кез-келген бала дәл үш үйірмеге қатысады, және кез-келген екі бала үшін, сол екеуі де қатысатын үйірме бар. Қалада ең көп дегенде қанша бала болуы мүмкін? ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение(1)

результаты