Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур заключительного этапа

Графики линейных функций $y = ax+c,$ $y = ax+d,$ $y = bx+e,$ $y = bx+f$ пересекаются в вершинах квадрата $P.$ Могут ли точки $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f)$ располагаться в вершинах квадрата, равного квадрату $P$? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не могут.
Решение. Пусть такое возможно. Заметим, что прямые $KL$ и $MN$ параллельны оси ординат. Значит, они параллельны между собой, и потому отрезки $KL$ и $MN$ — противоположные стороны квадрата $Q$ с вершинами $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f).$ Следовательно, сторона этого квадрата равна $|c-d|.$ С другой стороны, графики функций $y = ax+c$ и $y = ax+d$ параллельны и пересекают ось ординат в точках $C(0, c)$ и $D(0, d).$ Значит, они содержат противоположные стороны квадрата $P$, и длина стороны квадрата $P$ равна расстоянию между этими прямыми. Заметим, что это расстояние не превосходит $CD = |c-d|,$ и равно $|c-d|$ только тогда, когда прямые $y = ax+c$ и $y = ax+d$ перпендикулярны оси ординат. Но в этом случае графики $y = bx+e$ и $y = bx+f$ должны быть параллельны оси ординат, что невозможно.