Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

$y = ax+c,$ $y = ax+d,$ $y = bx+e,$ $y = bx+f$ сызықтың функциялары $P$ квадратының төбелерінде қиылысады. $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f)$ нүктелері $P$-ға тең квадраттың төбелерінде орналасуы мүмкін бе? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не могут.
Решение. Пусть такое возможно. Заметим, что прямые $KL$ и $MN$ параллельны оси ординат. Значит, они параллельны между собой, и потому отрезки $KL$ и $MN$ — противоположные стороны квадрата $Q$ с вершинами $K(a, c),$ $L(a, d),$ $M(b, e),$ $N(b, f).$ Следовательно, сторона этого квадрата равна $|c-d|.$ С другой стороны, графики функций $y = ax+c$ и $y = ax+d$ параллельны и пересекают ось ординат в точках $C(0, c)$ и $D(0, d).$ Значит, они содержат противоположные стороны квадрата $P$, и длина стороны квадрата $P$ равна расстоянию между этими прямыми. Заметим, что это расстояние не превосходит $CD = |c-d|,$ и равно $|c-d|$ только тогда, когда прямые $y = ax+c$ и $y = ax+d$ перпендикулярны оси ординат. Но в этом случае графики $y = bx+e$ и $y = bx+f$ должны быть параллельны оси ординат, что невозможно.