Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур заключительного этапа


Задача №1.  Маша взяла четыре различных положительных числа и записала шесть их попарных произведений в ряд в порядке возрастания. Могли ли все пять разностей между соседними числами этого ряда оказаться одинаковыми? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В Тридевятом царстве 100 городов, и каждые два города соединены не более чем одной дорогой. Однажды царь приказал ввести на каждой дороге одностороннее движение, а заодно покрасить каждую дорогу в белый или черный цвет. Министр транспорта с гордостью сообщил, что после выполнения приказа из любого города в любой другой можно добраться по дорогам, чередуя их цвета, причем так, что первая дорога в пути будет белой. Какое наименьшее количество дорог могло быть в этой стране? Добираясь из города в город, можно проезжать через промежуточные города любое число раз. ( М. Антипов )
комментарий/решение(8)
Задача №3.  Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором AB=BC=CD=4. На сторонах AB и CD выбраны точки K и L соответственно таким образом, что AK=DL=1. На стороне AD снаружи четырёхугольника построен треугольник AMD, в котором AM=MD=2. Оказалось, что KL=2. Докажите, что BM=CM. ( Ц. Французов )
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Дано натуральное число k, большее 1. Натуральное число n, большее 1 и взаимно простое с k, назовём правильным, если для любого натурального делителя d (d<n) числа n число d+k не взаимно просто с n. Докажите, что правильных чисел — конечное количество. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)
результаты