Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1.  Маша взяла четыре различных положительных числа и записала шесть их попарных произведений в ряд в порядке возрастания. Могли ли все пять разностей между соседними числами этого ряда оказаться одинаковыми? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В Тридевятом царстве 100 городов, и каждые два города соединены не более чем одной дорогой. Однажды царь приказал ввести на каждой дороге одностороннее движение, а заодно покрасить каждую дорогу в белый или черный цвет. Министр транспорта с гордостью сообщил, что после выполнения приказа из любого города в любой другой можно добраться по дорогам, чередуя их цвета, причем так, что первая дорога в пути будет белой. Какое наименьшее количество дорог могло быть в этой стране? Добираясь из города в город, можно проезжать через промежуточные города любое число раз. ( М. Антипов )
комментарий/решение(8)

---

Задача №3.  Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB = BC = CD = 4$. На сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно таким образом, что $AK = DL = 1$. На стороне $AD$ снаружи четырёхугольника построен треугольник $AMD$, в котором $AM = MD = 2$. Оказалось, что $KL = 2$. Докажите, что $BM = CM$. ( Ц. Французов )
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Дано натуральное число $k$, большее 1. Натуральное число $n$, большее 1 и взаимно простое с $k$, назовём правильным, если для любого натурального делителя $d$ ($d < n$) числа $n$ число ${d+k}$ не взаимно просто с $n$. Докажите, что правильных чисел — конечное количество. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---