Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2010 год
Задача №1. Саша и Дима играют в игру на доске 100×100. В начале игры
Саша выбирает 50 клеток и ставит на них по одному королю.
После этого Дима выбирает одну из свободных клеток и выставляет на
нее ладью. Далее игроки ходят по очереди (начинает Саша). Каждым
своим ходом Саша перемещает каждого из королей на соседнюю по стороне или
углу клетку, а Дима своим ходом передвигает ладью на любое количество
клеток по горизонтали или вертикали. При этом ладья не может
"перепрыгивать" через короля и "бить" короля. Сможет ли Саша действовать
так, чтобы рано или поздно побить ладью одним из королей?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Точка H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На
стороне BC выбрана точка D. Точка P построена таким
образом, что ADPH — параллелограмм. Докажите, что ∠BPC>∠BAC.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Три различных ненулевых числа таковы, что при любой расстановке этих
чисел на места коэффициентов квадратного трехчлена этот трехчлен будет иметь
целый корень. Докажите, что у всех таких трехчленов есть корень 1.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. На доске записаны 2010 натуральных чисел. Разрешается стереть любую
пару чисел x, y (в которой y>1) и записать вместо них либо пару
чисел 2x+1, y−1, либо пару 2x+1, 14(y−1) (если y−1 делится
на 4). Например, стерев числа 3 и 5, можно написать пару 7 и 4, либо пару
7, 1 (приняв x=3, y=5), либо пару 11, 2 (приняв x=5, y=3). Такие
операции провели несколько раз, причем при первой операции были стерты
числа 2006 и 2008. Докажите, что на доске не сможет появиться вновь
первоначальный набор чисел.
(
М. Антипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Множество вещественных чисел M содержит больше одного элемента.
Известно, что для любого x, лежащего в M, хотя бы одно из чисел
3x−2 и −4x+5 также лежит в M. Докажите, что множество M
бесконечно.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дано натуральное число n. Известно, что существуют такие пять
последовательных натуральных чисел, что ни одно из них не делится на n,
но их произведение кратно n. Докажите, что существуют такие четыре
последовательных натуральных числа, что ни одно из них не делится на n,
но их произведение кратно n.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Дан треугольник ABC. Из центра I его вписанной окружности опустили
перпендикуляр IP на прямую, проходящую через вершину A и параллельную
стороне BC. Касательная ко вписанной окружности, параллельная BC,
пересекает стороны AB и AC в точках Q и R соответственно.
Докажите, что ∠QPB=∠RPC.
(
В. Смыкалов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. В стране несколько городов, между некоторыми городами курсируют
прямые односторонние авиарейсы. Докажите, что можно выделить из всех
городов такую группу A, что:
1) между городами группы A нет ни одного рейса;
2) из любого города, не лежащего в группе A, можно попасть в какой-нибудь город группы A либо прямым рейсом, либо с одной пересадкой в промежуточном городе. ( В. Дольников )
комментарий/решение
1) между городами группы A нет ни одного рейса;
2) из любого города, не лежащего в группе A, можно попасть в какой-нибудь город группы A либо прямым рейсом, либо с одной пересадкой в промежуточном городе. ( В. Дольников )
комментарий/решение