Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2010 жыл

$M$ нақты сандар жиынында, мүшелер саны бірден көп. $M$ жиынында жататын, кез келген $x$ үшін $3x-2$ және $-4x+5$ сандарының кем дегенде біреуі $M$ жиынында жататыны белгілі. $M$ жиыны шексіз екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Рассмотрим арифметическую прогрессию $\{a_n\}$ ($n \in \mathbb{Z}_{\neq 0}$), которая задается $a_{n}=nx+1-n$. Заметим, что если подставить вместо $x$ число $a_k$, то получиться $$n(kx+1-k)+1-n=nkx+1-kx=a_{nk},$$

и раз уж $(3;4)=1$, то $M$ содержит в себе непересекающиеся элементы $\{a_n\}$, откуда и следует, что $M$ бесконечно.