Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2010 год

Множество вещественных чисел $M$ содержит больше одного элемента. Известно, что для любого $x$, лежащего в $M$, хотя бы одно из чисел $3x-2$ и $-4x+5$ также лежит в $M$. Докажите, что множество $M$ бесконечно. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Рассмотрим арифметическую прогрессию $\{a_n\}$ ($n \in \mathbb{Z}_{\neq 0}$), которая задается $a_{n}=nx+1-n$. Заметим, что если подставить вместо $x$ число $a_k$, то получиться $$n(kx+1-k)+1-n=nkx+1-kx=a_{nk},$$

и раз уж $(3;4)=1$, то $M$ содержит в себе непересекающиеся элементы $\{a_n\}$, откуда и следует, что $M$ бесконечно.