Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2010 год
Множество вещественных чисел M содержит больше одного элемента.
Известно, что для любого x, лежащего в M, хотя бы одно из чисел
3x−2 и −4x+5 также лежит в M. Докажите, что множество M
бесконечно.
(
А. Голованов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Рассмотрим арифметическую прогрессию {an} (n∈Z≠0), которая задается an=nx+1−n. Заметим, что если подставить вместо x число ak, то получиться n(kx+1−k)+1−n=nkx+1−kx=ank,
и раз уж (3;4)=1, то M содержит в себе непересекающиеся элементы {an}, откуда и следует, что M бесконечно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.