Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год
Задача №1. В последовательности вещественных чисел a1, a2, …
произведение a1a2 отрицательно, а при n>2 для вычисления an
среди всех пар (i,j), 1≤i<j<n, которые
ранее не выбирались, выбирается одна пара (i,j),
для которой ai+aj имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается
an=ai+aj. Докажите, что |ai|<1 при некотором i.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки B′ и C′
симметричны точкам B и C относительно прямых CD и AB соответственно.
Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей
треугольников ABC′ и B′CD, равноудалена от точек A и D.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. План картинной галереи — клетчатая фигура,
где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой,
переходя в соседние по сторонам клетки.
Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами,
в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ферзя
(не выходя за пределы галереи).
Какое наименьшее число смотрителей потребуется,
чтобы в любой галерее из n залов (n>2) все залы оказались под присмотром?
(
H. Alpert,
E. Roldan
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Калькулятор умеет возводить число в квадрат, а также умеет прибавлять 1,
но при этом прибавлять 1 два раза подряд нельзя.
За несколько таких операций он получил из числа x число S, причем S>xn+1
(x,n,S — натуральные). Докажите, что S≥xn+x−1.
(
М. Антипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Существуют ли такие 6 натуральных чисел,
что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26,
и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Докажите, что ни при каком натуральном n произведение
(14+12+1)(24+22+1)…(n4+n2+1)
не является точным квадратом.
(
K. Gaitanas
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №7. На прямоугольной клетчатой доске отмечено N клеток.
Пусть ai — количество отмеченных клеток в i-й строке,
bj — количество отмеченных клеток в j-м столбце.
Докажите, что ∏iai!∏jbj!⩽
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В треугольнике ABC угол при вершине B тупой, AB\ne BC.
Точка O — центр описанной окружности \omega этого треугольника, N — середина дуги ABC. Окружность, описанная около треугольника BON, пересекает отрезок AC в точках X и Y. Лучи BX и BY вторично пересекают окружность \omega в точках Z и T. Докажите, что точка, симметричная точке N относительно прямой AC, лежит на прямой ZT.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)