Processing math: 66%

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год


Задача №1.  В последовательности вещественных чисел a1, a2, произведение a1a2 отрицательно, а при n>2 для вычисления an среди всех пар (i,j), 1i<j<n, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара (i,j), для которой ai+aj имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается an=ai+aj. Докажите, что |ai|<1 при некотором i. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки B и C симметричны точкам B и C относительно прямых CD и AB соответственно. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников ABC и BCD, равноудалена от точек A и D. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  План картинной галереи — клетчатая фигура, где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой, переходя в соседние по сторонам клетки. Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами, в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ферзя (не выходя за пределы галереи). Какое наименьшее число смотрителей потребуется, чтобы в любой галерее из n залов (n>2) все залы оказались под присмотром? ( H. Alpert, E. Roldan )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Калькулятор умеет возводить число в квадрат, а также умеет прибавлять 1, но при этом прибавлять 1 два раза подряд нельзя. За несколько таких операций он получил из числа x число S, причем S>xn+1 (x,n,S — натуральные). Докажите, что Sxn+x1. ( М. Антипов )
комментарий/решение
Задача №5.  Существуют ли такие 6 натуральных чисел, что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26, и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что ни при каком натуральном n произведение (14+12+1)(24+22+1)(n4+n2+1) не является точным квадратом. ( K. Gaitanas )
комментарий/решение(4)
Задача №7.  На прямоугольной клетчатой доске отмечено N клеток. Пусть ai — количество отмеченных клеток в i-й строке, bj — количество отмеченных клеток в j-м столбце. Докажите, что iai!jbj! ( Ф. Петров )
комментарий/решение
Задача №8.  В треугольнике ABC угол при вершине B тупой, AB\ne BC. Точка O — центр описанной окружности \omega этого треугольника, N — середина дуги ABC. Окружность, описанная около треугольника BON, пересекает отрезок AC в точках X и Y. Лучи BX и BY вторично пересекают окружность \omega в точках Z и T. Докажите, что точка, симметричная точке N относительно прямой AC, лежит на прямой ZT. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)