қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год
Задача №1. В последовательности вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$
произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$
среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые
ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$,
для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается
$a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $|a_i| < 1$ при некотором $i$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $B'$ и $C'$
симметричны точкам $B$ и $C$ относительно прямых $CD$ и $AB$ соответственно.
Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей
треугольников $ABC'$ и $B'CD$, равноудалена от точек $A$ и $D$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. План картинной галереи — клетчатая фигура,
где каждая клетка — это зал, и из любой клетки можно дойти до любой другой,
переходя в соседние по сторонам клетки.
Смотритель, находясь в одном из залов, следит за всеми залами,
в которые можно попасть из этой клетки одним ходом ферзя
(не выходя за пределы галереи).
Какое наименьшее число смотрителей потребуется,
чтобы в любой галерее из $n$ залов ($n > 2$) все залы оказались под присмотром?
(
H. Alpert,
E. Roldan
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Калькулятор умеет возводить число в квадрат, а также умеет прибавлять 1,
но при этом прибавлять 1 два раза подряд нельзя.
За несколько таких операций он получил из числа $x$ число $S$, причем $S > x^n+1$
($x,n, S$ — натуральные). Докажите, что $S\geq x^n+x-1$.
(
М. Антипов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Существуют ли такие 6 натуральных чисел,
что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26,
и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Докажите, что ни при каком натуральном $n$ произведение
$
(1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\ldots(n^4+n^2+1)
$
не является точным квадратом.
(
K. Gaitanas
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №7. На прямоугольной клетчатой доске отмечено $N$ клеток.
Пусть $a_i$ — количество отмеченных клеток в $i$-й строке,
$b_j$ — количество отмеченных клеток в $j$-м столбце.
Докажите, что $\prod_i a_i! \prod_j b_j !\leqslant N!$
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. В треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ тупой, $AB\ne BC$.
Точка $O$ — центр описанной окружности $\omega$ этого треугольника, $N$ — середина дуги $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $BON$, пересекает отрезок $AC$ в точках $X$ и $Y$. Лучи $BX$ и $BY$ вторично пересекают окружность $\omega$ в точках $Z$ и $T$. Докажите, что точка, симметричная точке $N$ относительно прямой $AC$, лежит на прямой $ZT$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)