Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1.  У Синдбада в кошельке 11 внешне одинаковых динаров, среди которых, возможно, один фальшивый, отличающийся от настоящего по весу, но неизвестно в какую сторону. Как ему расплатиться с торговцем восемью настоящими динарами, если торговец разрешил два раза воспользоваться его чашечными весами, но без гирь? ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Дан остроугольный треугольник $ABC$. Высота $AA_1$ продолжена за вершину $A$ на отрезок $AA_2 = BC$. Высота $CC_1$ продолжена за вершину $C$ на отрезок $CC_2 = AB$. Найдите углы треугольника $A_2BC_2$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $a$, $b$, $c$ — три натуральных числа. На доску выписали три произведения $ab$, $ac$, $bc$, и у каждого из них стёрли все цифры, кроме двух последних. Могло ли случиться, что в результате получились три последовательных двузначных числа? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В клетках доски $8 \times 8$ расставлены числа $1$ и $-1$ (в каждой клетке — по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения четырёхклеточной фигурки на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1)

---