қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2016 год
Задача №1. Перед Таней и Сережей лежит куча из 2016 конфет. Таня и Сережа делают ходы
по очереди, начинает Таня. При своем ходе ребенок может съесть
либо одну конфету, либо, если в куче в данный момент четное число конфет,
ровно половину всей кучи. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет
при правильной игре?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На высоте $AA_1$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ такая, что
$\angle BDC=90^\circ$, и точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. На отрезке $AH$ как
на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной
к этой окружности из точки $B$, равна длине отрезка $BD$.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани
кубика нарисована стрелочка в одном из четырех направлений, параллельных сторонам грани.
Антон смотрит на
кубик сверху и перекатывает его через ребро в направлении, указанном
стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не
заметет никакого квадрата $5\times 5$.
(
А. Чухнов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию
$a^2+b^2+c^2 \geq 3$. Докажите неравенство
$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca).$
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Во всех клетках таблицы $10\times 10$ записаны положительные числа. На
некоторых 5 клетках сидят лягушки, заслоняя числа в этих клетках. Костя
посчитал сумму всех видимых чисел и получил $10$. Потом каждая лягушка
перепрыгнула в соседнюю по стороне клетку, и Костя насчитал сумму $10^{2}$.
Потом лягушки снова прыгнули, и у Кости получилась сумма $10^{3}$, и т.д. —
каждая новая сумма оказывалась в 10 раз больше предыдущей.
Какую наибольшую сумму мог получить Костя?
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Существует ли такое натуральное число, состоящее из нечётных
цифр, причём цифр 1, 3, 5, 7, 9 в нём поровну, которое делится на
любое 20-значное число, получаемое из него вычёркиванием цифр
(ни вычеркиваемые, ни оставшиеся цифры не обязаны стоять подряд)?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $0 < a \leq b \leq d \leq c$ и $a+c=b+d$.
Докажите, что для любой внутренней точки $P$ отрезка длины $a$
этот отрезок является стороной
описанного четырёхугольника с последовательными
сторонами $a$, $b$, $c$, $d$, вписанная окружность которого проходит через точку $P$.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. На карте полетов авиакомпании $K_{r,r}$ изображены несколько городов,
некоторые пары городов связаны прямым (двусторонним) авиарейсом,
причем всего имеется $m$ авиарейсов.
Требуется выбрать две непересекающиеся группы по $r$ городов в каждой
такие, что каждый город одной группы связан авиарейсом с каждым из городов второй группы.
Докажите, что этот выбор можно осуществить не более чем $2 m^r$ способами.
(
D. Conlon
)
комментарий/решение
комментарий/решение