Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2016 год

Задача №1. Перед Таней и Сережей лежит куча из 2016 конфет. Таня и Сережа делают ходы по очереди, начинает Таня. При своем ходе ребенок может съесть либо одну конфету, либо, если в куче в данный момент четное число конфет, ровно половину всей кучи. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. На высоте

$AA_1$ остроугольного треугольника

$ABC$ отмечена точка

$D$ такая, что

$\angle BDC=90^\circ$ , и точка

$H$ — ортоцентр треугольника

$ABC$ . На отрезке

$AH$ как на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной к этой окружности из точки

$B$ , равна длине отрезка

$BD$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. На одной из клеток клетчатой плоскости стоит кубик. На каждой грани кубика нарисована стрелочка в одном из четырех направлений, параллельных сторонам грани. Антон смотрит на кубик сверху и перекатывает его через ребро в направлении, указанном стрелкой, нарисованной на верхней грани. Докажите, что кубик никогда не заметет никакого квадрата

$5\times 5$ . ( А. Чухнов )
комментарий/решение

Задача №4. Неотрицательные числа

$a$ ,

$b$ и

$c$ удовлетворяют условию

$a^2+b^2+c^2 \geq 3$ . Докажите неравенство

$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca).$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2)

Задача №5. Во всех клетках таблицы

$10\times 10$ записаны положительные числа. На некоторых 5 клетках сидят лягушки, заслоняя числа в этих клетках. Костя посчитал сумму всех видимых чисел и получил

$10$ . Потом каждая лягушка перепрыгнула в соседнюю по стороне клетку, и Костя насчитал сумму

$10^{2}$ . Потом лягушки снова прыгнули, и у Кости получилась сумма

$10^{3}$ , и т.д. — каждая новая сумма оказывалась в 10 раз больше предыдущей. Какую наибольшую сумму мог получить Костя? ( К. Кохась )
комментарий/решение

Задача №6. Существует ли такое натуральное число, состоящее из нечётных цифр, причём цифр 1, 3, 5, 7, 9 в нём поровну, которое делится на любое 20-значное число, получаемое из него вычёркиванием цифр (ни вычеркиваемые, ни оставшиеся цифры не обязаны стоять подряд)? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №7. Числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ таковы, что

$0 < a \leq b \leq d \leq c$ и

$a+c=b+d$ . Докажите, что для любой внутренней точки

$P$ отрезка длины

$a$ этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ , вписанная окружность которого проходит через точку

$P$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение

Задача №8. На карте полетов авиакомпании

$K_{r,r}$ изображены несколько городов, некоторые пары городов связаны прямым (двусторонним) авиарейсом, причем всего имеется

$m$ авиарейсов. Требуется выбрать две непересекающиеся группы по

$r$ городов в каждой такие, что каждый город одной группы связан авиарейсом с каждым из городов второй группы. Докажите, что этот выбор можно осуществить не более чем

$2 m^r$ способами. ( D. Conlon )
комментарий/решение