қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2016 жыл
Есеп №1. Таня мен Сережаның алдында 2016 кәмпит жатыр. Таня мен Сережа кезекпен жүріс жасайды. Алдымен Таня бастайды. Балақай өзінің жүрісінде, бір кәмпит немесе егер жұп кәмпит жатса, оның тең жартысын жей алады. Жүрісі жоқ ойыншы жеңіледі. Әділ ойында кім ұтады?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $\angle BDC=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының ${{AA}_{1}}$ биіктігінен $D$ нүктесі алынды. $H$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі. $AH$ кесіндісі диаметр ретінде алынып, осы диаметр бойынша шеңбер салынды. Осы шеңберге $B$ нүктесінен жүргізілген жанаманың ұзындығы, $BD$ кесіндісінің ұзындығына тең екенін дәлелдеңіз.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Торлы жазықтықтың бір торшасында кіші куб тұр. Кіші кубтің әрбір қырында төрт бағыттың біреуі бойынша, қырларға параллель сызықтар салынған. Антон кіші кубтың үстіңгі қырындағы көрсетілген сызықтың бағытында, қабырға бойынша айналдырады. Кіші куб $5\times 5$ шаршы бойынша өтпейтінін дәлелдеңіз.
(
А. Чухнов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Теріс емес $a$, $b$ және $c$ сандары ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3$ шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: ${{(a+b+c)}^{3}}\ge 9(ab+bc+ca)$.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $10\times 10$ кестесінің барлық торшаларында оң сандар жазылды. Кейбір 5 торшада отырған бақалар, сандарды жасырып отыр. Костя көрініп тұрған сандарды қосып, 10 санын алды. Кейін әрбір бақа көршілес жатқан торшаға секіргенде, Костя ${{10}^{2}}$ санын алды. Кейін тағы да бақалар көршілес жатқан торшаға секіргенде, Костя ${{10}^{3}}$ санын алды және дәл осылай жалғаса бере, әрбір келесі сан, алдындағы саннан 10 есе үлкен болды. Костя қандай ең үлкен сан ала алады?
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. 1, 2, 3, 5, 7, 9 цифралары тең кездесетіндей және тек тақ цифралардан тұратын, әрі осы санның кейбір цифраларын өшіру арқылы алынатын 20 мәнді санға бөлінетін сан бар ма (өшірілетін де, өшірілмейтін де цифралар қатар тұруы міндетті емес)?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $a$, $b$, $c$, $d$ сандары $0 < a\le b\le d\le c$ және $a+c=b+d$ шарттарын қанағаттандырады. Ұзындығы $a$ болатын кесіндінің ішінде орналасқан $P$ нүктесі үшін, қабырғалары $a$, $b$, $c$, $d$ болатын төртбұрыштың бір қабырғасы $a$ екенін дәлелдеңіз, егер осы төртбұрышқа іштей сызылған шеңбер $P$ нүктесі арқылы өтсе.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. ${{K}_{r,r}}$ әуекомпаниясының әуе жолдары картасында бірнеше қалалар көрсетілген. Кейбір қалалардың жұптары тікелей әуе жолымен байланысқан (екі бағытта). Барлығы $m$ ұшу сапары бар. Бір топтағы әрбір қала екінші топтағы барлық қалалармен байланысы бар болатындай, әрбір топта $r$ қала болатындай екі қалалар тобын таңдау керек. Осы таңдауды $2{{m}^{r}}$ әдістен артық емес жолмен таңдауға болатынын дәлелдеңіз.
(
D. Conlon
)
комментарий/решение
комментарий/решение