Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2016 год

На высоте $AA_1$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ такая, что $\angle BDC=90^\circ$, и точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. На отрезке $AH$ как на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной к этой окружности из точки $B$, равна длине отрезка $BD$. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Пусть$BK$ касательная к окружности с диаметром $AH$.

$BB{_{1}}$ высота треугольника $ABC$. $B{_{1}}$ лежит на окружности с диаметром $AH$. Тогда верно что $BK^{2}=BH\cdot BB{_{1}}$. Также $B{_{1}}CA{_{1}}H$ вписанный. Получаем $BH\cdot BB{_{1}}=BA{_{1}}\cdot BC$.Из подобия треугольников$BDC$ и $BA{_{1}}D$ верно что $BD^{2}=BA{_{1}}\cdot BC$.В итоге $BK^{2}=BH\cdot BB{_{1}}=BA{_{1}}\cdot BC=BD^{2}$. Выходит $BK=BD$

молодец бро