Д. Ростовский

Есеп №1.

$n\times n$

$(n > 2)$ квадратында нөлге тең емес сандар орналасқан. Әрбір сан, сол санмен бір «крестте» (яғни осы сан орналасқан баған мен жолдағы қалған

$2n-2$ торларда) орналасқан барлық сандар қосындысынан

$k$ есе кіші екендігі белгілі.

$k$ қандай болғанда осы шарт орындалады? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, ең үлкен

$h$ санын табыңыз: кез-келген

$a\in \left[ 0,h \right]$ саны үшін,

$P\left( 0 \right)=P\left( 1 \right)=0$ болатындай, 99 дәрежелі кез-келген

$P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін

$P\left( {{x}_{1}} \right)=P\left( {{x}_{2}} \right)$ және

${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=a$ болатындай,

${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 0,1 \right]$ табылады. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №3. Жүк тиеушіде бір вагон және кішкене арба бар. Вагон 1000 кг жүкті, ал арба 1 кг жүкті көтере алады. Қоймада бірнеше (шектеулі), құм толтырылған қапшықтар бар. Олардың барлығының салмағы 1001 килограмнан артық, ал әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймадағы жатқан қапшықтардың қандай екеніне байланыссыз, жүк тиеуші, вагон мен арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құм тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №4. Жүк тиеушіде 8 кг жүкке және 9 кг жүкке арналған арбалар бар. Қоймада құм толтырылған бірнеше (шектеулі) қапшықтар жатыр. Осы қапшықтардың барлығының салмағы 17 килограмнан артық және әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймада қандай қапшықтардың жатқанына байланыссыз, жүк тиеуші осы екі арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құмды тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №5.

$I$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі болсын.

$AC$ және

$AB$ қабырғаларының орталары сәйкес түрде

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелері болсын.

$\angle BI{{C}_{1}}+\angle CI{{B}_{1}}=180{}^\circ$ болатыны белгілі.

$AB+AC=3BC$ теңдігін дәлелде. ( Д. Ростовский, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №6. Суретте кескінделген торлы тақтада барлық торды «соға» алатындай бірнеше ладьялар тұр (ладья өзі тұрған торды «соғады» деп есептеледі). Тақтада

$11$ - ден артық емес ладья қалдырып, сонда қалған ладьялардың барлық торларды бұрынғыдай «соғатындай» бірнеше ладьяны алып тастауға болатынын дәлелде.

( Фольклор, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада