қазақша
русскийД. Ростовский
Есеп №1. $n\times n$ $(n > 2)$ квадратында нөлге тең емес сандар орналасқан. Әрбір сан, сол санмен бір «крестте» (яғни осы сан орналасқан баған мен жолдағы қалған $2n-2$ торларда) орналасқан барлық сандар қосындысынан $k$ есе кіші екендігі белгілі. $k$ қандай болғанда осы шарт орындалады? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, ең үлкен $h$ санын табыңыз: кез-келген $a\in \left[ 0,h \right]$ саны үшін, $P\left( 0 \right)=P\left( 1 \right)=0$ болатындай, 99 дәрежелі кез-келген $P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін $P\left( {{x}_{1}} \right)=P\left( {{x}_{2}} \right)$ және ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=a$ болатындай, ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 0,1 \right]$ табылады. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №3. Жүк тиеушіде бір вагон және кішкене арба бар. Вагон 1000 кг жүкті, ал арба 1 кг жүкті көтере алады. Қоймада бірнеше (шектеулі), құм толтырылған қапшықтар бар. Олардың барлығының салмағы 1001 килограмнан артық, ал әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймадағы жатқан қапшықтардың қандай екеніне байланыссыз, жүк тиеуші, вагон мен арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құм тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Жүк тиеушіде 8 кг жүкке және 9 кг жүкке арналған арбалар бар. Қоймада құм толтырылған бірнеше (шектеулі) қапшықтар жатыр. Осы қапшықтардың барлығының салмағы 17 килограмнан артық және әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймада қандай қапшықтардың жатқанына байланыссыз, жүк тиеуші осы екі арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құмды тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №5. $I$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі болсын. $AC$ және $AB$ қабырғаларының орталары сәйкес түрде ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері болсын. $\angle BI{{C}_{1}}+\angle CI{{B}_{1}}=180{}^\circ $ болатыны белгілі. $AB+AC=3BC$ теңдігін дәлелде. ( Д. Ростовский, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №6. Суретте кескінделген торлы тақтада барлық торды «соға» алатындай бірнеше ладьялар тұр (ладья өзі тұрған торды «соғады» деп есептеледі). Тақтада $11$- ден артық емес ладья қалдырып, сонда қалған ладьялардың барлық торларды бұрынғыдай «соғатындай» бірнеше ладьяны алып тастауға болатынын дәлелде.
комментарий/решение олимпиада