Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2021 год

Квадратные трехчлены $F$ и $G$ таковы, что $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных $x.$ Докажите, что $F(x) > G(x)$ для всех вещественных $x.$ ( В. Франк )

Комментарий/решение

Введем функцию $P(x)=F(x)-G(x)$, тогда $P(G(x))=F(G(x))-G(G(x))>0$, $\Rightarrow$достаточно доказать, что парабола не пересекает ось $OX$.

Допустим, что $P(a)=0$ для какого-то $a$, тогда $F(a)=G(a), \Rightarrow F(F(a))=F(G(a))$, что противоречит первому данному неравенству

$F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$