Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2008 жыл

Есеп №1. Қабырғада атақты ғалымдардың портреттері ілініп тұр. Олардың барлығы 1600 және 2008 мерзім аралығында өмір сүрген, алайда 80 жылдан артық емес. Вася осы ғалымдардың туылған жылдарын көбейтіп шықты, ал Петя олардың қайтыс болған жылдарын көбейтіп шықты. Петяның алған саны, Васяның алған санынан дәл

$\dfrac{5}{4}$ есе үлкен болып шықты. Қабырғада ең кем дегенде неше портрет ілініп тұруы мүмкін? ( В. Франк )
комментарий/решение

Есеп №2. Қатар орналасқан екі сан өзара жай болмайтындай,

${{10}^{6}}$ санынан аспайтын барлық кұрама сандарды шеңбер бойына орналастырып шығуға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №3. Шексіз торлы жазықтықтың 100 торы

$10\times 10$ шаршысын құрайды. Торлардың қабырғасы болып табылатын бірлік кесінділер бірнеше түске боялды. Кез келген шаршының, осы торлардың сызықтары арқылы өтетін шекарасында, 2-ден артық емес түске боялған кесінділер бар (Қарастырылып жатқан шаршылар, алғашқы

$10\times 10$ шаршысында болуы тиісті емес). Барлығы неше түс пайдаланылуы мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №4.

${{I}_{1}}$ нүктесі

$BC$ қабырғасына қатысты

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі

$I$ нүктесіне симметриялы.

$BC{{I}_{1}}$ шеңбері,

$I{{I}_{1}}$ түзуін екінші рет

$P$ нүктесінде қияды.

$P$ нүктесі,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің сыртында орналасқаны белгілі.

$P$ нүктесінен осы шеңберге,

$X$ және

$Y$ нүктелерінде жанамалар жүргізілді.

$XY$ түзуі

$ABC$ үшбұрышының орта сызығын қамтитынын дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение

Есеп №5. Жүк тиеушіде бір вагон және кішкене арба бар. Вагон 1000 кг жүкті, ал арба 1 кг жүкті көтере алады. Қоймада бірнеше (шектеулі), құм толтырылған қапшықтар бар. Олардың барлығының салмағы 1001 килограмнан артық, ал әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймадағы жатқан қапшықтардың қандай екеніне байланыссыз, жүк тиеуші, вагон мен арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құм тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение

Есеп №6. Табандары

$AD$ және

$BC$ болатын, теңбүйірлі

$ABCD$ трапециясы берілсін. Оның

$AC$ және

$BD$ диагоналдары

$M$ нүктесінде қиылысады.

$AX=AM$ ,

$BY=BM$ болатындай,

$AB$ кесіндісінде

$X$ және

$Y$ нүктелері табылды.

$Z$ нүктесі

$XY$ кесіндісінің ортасы, ал

$XD$ және

$YC$ кесінділерінің қиылысуы

$N$ нүктесі арқылы белгіленсін.

$ZN$ түзуі трапецияның табандарына параллель екенін дәлелдеңіз. ( А. Акопян, А. Мякишев )
комментарий/решение

Есеп №7. Егер кез келген

$a,b\in X$ үшін,

$a+b$ және

$\left| a-b \right|$ сандарының біреуі

$X$ жиынына тиісті болса, натурал сандардан тұратын

$X$ жиыны сүйкімді деп аталады (

$a$ және

$b$ сандары сәйкес келуі мүмкін). 2008 санын қамтитын, сүйкімді жиындар санын табыңыз. ( Ф. Петров )
комментарий/решение

Есеп №8. 1-ден 501-ге дейінгі натурал сандардың ішінен 250 сан таңдалды.

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}-t$ саны 23-ке бөлінетіндей, кез келген бүтін

$t$ үшін, таңдалған сандар ішінен

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

${{a}_{3}}$ және

${{a}_{4}}$ сандары табылатынын дәлелдеңіз. ( К. Кохась )
комментарий/решение