Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2013 год

Карточки с номерами от 1 до $2^n$ раздают $k$ детям, $1\leq k\leq 2^n$, так чтобы каждый ребенок получил хотя бы одну карточку. Докажите, что количество способов раздать карточки делится на $2^{k-1}$, но не делится на $2^k$. ( М. Иванов )