Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2014 жыл


Үстелде, натурал сан жазылған, барлығы жұп мөлшердегі карточкалар жатыр. k саны жазылған карточкалар саны ak болсын. Әрбір натурал n үшін, anan1+an20 екені анықталды. Екі карточканың сан айырмашылығы 1 болатындай, карточкаларды жұптарға бөлуге болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 года 9 месяца назад #

Пусть на карточке с наименьшим натуральным числом написано число x. Тогда подставив под данную формулу n=x+1, мы получим:

ax+1ax0ax+1ax. Отсюда можно утверждать о том, что для каждой карточки с числом x в пару найдется карточка с числом x+1.

Далее, подставив под формулу n=x+2, можно получить:

ax+2ax+1+ax0ax+2ax+1ax. Отсюда же можно утверждать о том, что для всех оставшихся (ax+1ax) карточек с числом x+1, которые не вошли в пару с карточками x , в пару найдутся карточки с числом x+2.

Делая подобные действия для n=x+3, получим:

ax+3ax+2+ax+1ax0ax+3ax+2ax+1+ax. И делаем вывод о том, что для каждой карточки с числом x+2, которая не вошла в пару с оставшимися числами x+1, в пару точно найдется карточка с числом x+3.

Пусть на карточке с наибольшим натуральным числом написано число y.

Тогда повторяя предыдущие действия мы можем сказать о том что,

ayay1+ay2ay3+0ayay1ay2+ay3 для каждой карточки с числами от x до y1 точно найдутся пары.

Подставив же под данную нам формулу y+1 мы получим:

ay+1ay+ay1ay2+ay30. Так как y это наибольшее натуральное число, понятно, что ay+1=0, и мы имеем:

ayay1+ay2ay3+ayay1ay2+ay3

Раньше мы уже получали ayay1ay2+ay3

Поэтому, получаем равенство: ay=ay1ay2+ay3 , то есть количество оставшихся карточек с числом y1 равна ay, и для всех карточек с числом y парой будут числа y1.

Таким образом, все числа x могут быть в паре с числами x+1, числа x+1, которые не вошли в пару c x могут войти в пару с числами x+2 числа y1, которые не вошли в пару с y2 могут войти в пару с числами y

и количество оставшихся чисел y1 равна количеству карточек с числом y, что позволяет им всем быть в паре.