Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2014 жыл
Комментарий/решение:
Пусть на карточке с наименьшим натуральным числом написано число x. Тогда подставив под данную формулу n=x+1, мы получим:
ax+1−ax≥0⇒ax+1≥ax. Отсюда можно утверждать о том, что для каждой карточки с числом x в пару найдется карточка с числом x+1.
Далее, подставив под формулу n=x+2, можно получить:
ax+2−ax+1+ax≥0⇒ax+2≥ax+1−ax. Отсюда же можно утверждать о том, что для всех оставшихся (ax+1−ax) карточек с числом x+1, которые не вошли в пару с карточками x , в пару найдутся карточки с числом x+2.
Делая подобные действия для n=x+3, получим:
ax+3−ax+2+ax+1−ax≥0⇒ax+3≥ax+2−ax+1+ax. И делаем вывод о том, что для каждой карточки с числом x+2, которая не вошла в пару с оставшимися числами x+1, в пару точно найдется карточка с числом x+3.
Пусть на карточке с наибольшим натуральным числом написано число y.
Тогда повторяя предыдущие действия мы можем сказать о том что,
ay−ay−1+ay−2−ay−3+…≥0⇒ay≥ay−1−ay−2+ay−3−…⇒ для каждой карточки с числами от x до y−1 точно найдутся пары.
Подставив же под данную нам формулу y+1 мы получим:
ay+1−ay+ay−1−ay−2+ay−3−…≥0. Так как y это наибольшее натуральное число, понятно, что ay+1=0, и мы имеем:
−ay≥−ay−1+ay−2−ay−3+…⇒ay≤ay−1−ay−2+ay−3−…
Раньше мы уже получали ay≥ay−1−ay−2+ay−3−…
Поэтому, получаем равенство: ay=ay−1−ay−2+ay−3−… , то есть количество оставшихся карточек с числом y−1 равна ay, и для всех карточек с числом y парой будут числа y−1.
Таким образом, все числа x могут быть в паре с числами x+1, числа x+1, которые не вошли в пару c x могут войти в пару с числами x+2 … числа y−1, которые не вошли в пару с y−2 могут войти в пару с числами y
и количество оставшихся чисел y−1 равна количеству карточек с числом y, что позволяет им всем быть в паре.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.