Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2014 год

Задача №1. Даны три различных простых числа. На какое наибольшее количество из них может делиться их сумма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. На бумаге с шестиугольными клеточками отметили "параллелограмм"

$k\times \ell$ клеток (он состоит из

$k$ горизонтальных рядов по

$\ell$ клеток в каждом; для примера на рисунке изображен параллелограмм

$3\times 4$ ).

В~этом параллелограмме выбрали набор непересекающихся сторон клеток, которые разбивают все узлы на пары. Сколько вертикальных отрезков может быть в таком наборе? ( Т. Дошилич )
комментарий/решение

Задача №3. На стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ нашлись точки

$K$ и

$L$ такие, что

$\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$ . Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины

$A$ , середина отрезка

$KL$ и центр описанной окружности треугольника

$ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Положительные числа

$a$ ,

$b$ и

$c$ удовлетворяют условию

${1\over a}+{1\over b}+{1\over c}=3$ . Докажите неравенство

${1\over \sqrt{a^3+1}}+{1\over \sqrt{b^3+1}}+{1\over \sqrt{c^3+1}} \leq {3\over \sqrt{2}} .$ ( Н. Александров )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Для двух квадратных трёхчленов

$P(x)$ и

$Q(x)$ нашлась такая линейная функция

$\ell(x)$ , что

$P(x)=Q(\ell(x))$ при всех вещественных

$x$ . Сколько может быть таких линейных функций

$\ell(x)$ ? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Радиус окружности

$\omega_A$ с центром в вершине

$A$ треугольника

$ABC$ равен радиусу вневписанной окружности, касающейся стороны

$BC$ . Аналогично строятся окружности

$\omega_B$ и

$\omega_C$ . Докажите, что если какие-то две из этих окружностей касаются, то касаются любые две из них. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1)

Задача №7. На плоскости расположено

$n$ чёрных и

$n$ белых квадратов, каждый из которых может быть переведен в любой другой параллельным переносом. Каждые два квадрата разного цвета имеют общую точку. Докажите, что существует точка, принадлежащая хотя бы

$n$ квадратам. ( В. Дольников )
комментарий/решение

Задача №8. На левом берегу реки Лены стоят

$m$ деревень, на правом —

$n$ деревень, и ещё одна деревня стоит на острове. Известно, что

$(m+1, n+1) > 1$ . Между каждыми двумя деревнями, разделёнными водой, ходит паром с натуральным номером.
Жители каждой деревни утверждают, что все номера паромов, которые плавают в их деревню, различны, и эти номера составляют отрезок натурального ряда. Докажите, что хотя бы в одной деревне жители ошибаются. ( К. Кохась )
комментарий/решение