қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2014 год
Задача №1. Даны три различных простых числа. На какое наибольшее количество из них может
делиться их сумма?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На бумаге с шестиугольными клеточками отметили "параллелограмм" $k\times \ell$ клеток
(он состоит из $k$ горизонтальных рядов по $\ell$ клеток в каждом;
для примера на рисунке изображен параллелограмм $3\times 4$ ).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$
такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что
середина высоты, опущенной из вершины $A$,
середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности
треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.
(
П. Кожевников,
А. Акопян,
С. Боев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Положительные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию
${1\over a}+{1\over b}+{1\over c}=3$. Докажите неравенство
$$
{1\over \sqrt{a^3+1}}+{1\over \sqrt{b^3+1}}+{1\over \sqrt{c^3+1}} \leq
{3\over \sqrt{2}} .
$$
(
Н. Александров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Для двух квадратных трёхчленов $P(x)$ и $Q(x)$ нашлась такая линейная функция $\ell(x)$, что $P(x)=Q(\ell(x))$ при всех вещественных $x$. Сколько может быть таких линейных функций $\ell(x)$?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Радиус окружности $\omega_A$ с центром в вершине $A$ треугольника $ABC$ равен
радиусу вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.
Аналогично строятся окружности $\omega_B$ и $\omega_C$.
Докажите, что если какие-то две из этих окружностей касаются, то касаются любые две из них.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. На плоскости расположено $n$ чёрных и $n$ белых квадратов, каждый из которых может быть переведен в любой другой параллельным переносом. Каждые два квадрата разного цвета имеют общую точку.
Докажите, что существует точка, принадлежащая хотя бы $n$ квадратам.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. На левом берегу реки Лены стоят $m$ деревень, на правом — $n$ деревень, и ещё
одна деревня стоит на острове. Известно, что $(m+1, n+1) > 1$. Между
каждыми двумя деревнями, разделёнными водой, ходит паром с натуральным
номером.
Жители каждой деревни утверждают, что все номера паромов, которые плавают в их деревню, различны, и эти номера составляют отрезок натурального ряда. Докажите, что хотя бы в одной деревне жители ошибаются. ( К. Кохась )
комментарий/решение
Жители каждой деревни утверждают, что все номера паромов, которые плавают в их деревню, различны, и эти номера составляют отрезок натурального ряда. Докажите, что хотя бы в одной деревне жители ошибаются. ( К. Кохась )
комментарий/решение