Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2014 год

Положительные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию ${1\over a}+{1\over b}+{1\over c}=3$. Докажите неравенство $${1\over \sqrt{a^3+1}}+{1\over \sqrt{b^3+1}}+{1\over \sqrt{c^3+1}} \leq {3\over \sqrt{2}} .$$ ( Н. Александров )

Комментарий/решение

$\frac{1}{\sqrt{a^3+1}}=\frac{1}{\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}}=\frac{1}{\sqrt{a+1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2-a+1}}.$

$\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}=\frac{1}{\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}}=\frac{1}{\sqrt{b+1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{b^2-b+1}}.$

$\frac{1}{\sqrt{c^3+1}}=\frac{1}{\sqrt{(c+1)(c^2-c+1)}}=\frac{1}{\sqrt{c+1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{c^2-c+1}}.$

КБШ теңсіздігін қолдансақ: $(\frac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}})^2\leq (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})(\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{b^2-b+1}).$

Орталар теңсіздігінен: $a^2+1\geq 2a; a^2-a+1\geq a; \frac{1}{a+1}\leq \frac{\frac{1}{a}+1}{4}$

Сонда $\frac{1}{a^2-a+1}\leq \frac{1}{a}.$

$(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})(\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{b^2-b+1})\leq (\frac{\frac{1}{a}+1}{4}+\frac{\frac{1}{b}+1}{4}+\frac{\frac{1}{c}+1}{4})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{4}\cdot 6\cdot 3=\frac{9}{2}.$

Онда $(\frac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}})^2\leq \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}.$