Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2014 жыл
Оң a, b, c сандары 1a+1b+1c=3 шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: 1√a3+1+1√b3+1+1√c3+1≤3√2.
(
Н. Александров
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
1√a3+1=1√(a+1)(a2−a+1)=1√a+1⋅1√a2−a+1.
1√b3+1=1√(b+1)(b2−b+1)=1√b+1⋅1√b2−b+1.
1√c3+1=1√(c+1)(c2−c+1)=1√c+1⋅1√c2−c+1.
КБШ теңсіздігін қолдансақ: (1√a3+1+1√b3+1+1√b3+1)2≤(1a+1+1b+1+1c+1)(1a2−a+1+1b2−b+1+1b2−b+1).
Орталар теңсіздігінен: a2+1≥2a;a2−a+1≥a;1a+1≤1a+14
Сонда 1a2−a+1≤1a.
(1a+1+1b+1+1c+1)(1a2−a+1+1b2−b+1+1b2−b+1)≤(1a+14+1b+14+1c+14)(1a+1b+1c)=14(1a+1b+1c+3)(1a+1b+1c)=14⋅6⋅3=92.
Онда (1√a3+1+1√b3+1+1√b3+1)2≤92⇔1√a3+1+1√b3+1+1√b3+1≤3√2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.