Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2014 жыл


Оң a, b, c сандары 1a+1b+1c=3 шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: 1a3+1+1b3+1+1c3+132. ( Н. Александров )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
4 года назад #

1a3+1=1(a+1)(a2a+1)=1a+11a2a+1.

1b3+1=1(b+1)(b2b+1)=1b+11b2b+1.

1c3+1=1(c+1)(c2c+1)=1c+11c2c+1.

КБШ теңсіздігін қолдансақ: (1a3+1+1b3+1+1b3+1)2(1a+1+1b+1+1c+1)(1a2a+1+1b2b+1+1b2b+1).

Орталар теңсіздігінен: a2+12a;a2a+1a;1a+11a+14

Сонда 1a2a+11a.

(1a+1+1b+1+1c+1)(1a2a+1+1b2b+1+1b2b+1)(1a+14+1b+14+1c+14)(1a+1b+1c)=14(1a+1b+1c+3)(1a+1b+1c)=1463=92.

Онда (1a3+1+1b3+1+1b3+1)2921a3+1+1b3+1+1b3+132.