П. Кожевников

Есеп №1.

$a < 1000$ болатыңдай

$a$ және

$b$ натурал сандары берілген.

$a^{21}$ саны

$b^{10}$ санына бөлінсе, онда

$a^2$ саны

$b$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2.

$AB \parallel CD$ ,

$BC \parallel AD$ ,

$AC \parallel DE$ ,

$CE \perp BC$ болатындай

$ABCDE$ дөңес бесбұрышы берілген.

$EC$ —

$BED$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ$ болатындай,

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасында

$K$ және

$L$ нүктелері табылды.

$A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы,

$KL$ кесіндісінің ортасы және

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жатанынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4.

$\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ$ болатындай,

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасында

$K$ және

$L$ нүктелері табылды.

$A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы,

$KL$ кесіндісінің ортасы және

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5.

$6\times 6$ кестенің әрбір ұяшығына оң сан жазылған (жазылған сан бүтін болуы міндетті емес). Кестенің төрт ұяшықтан құралған «Г» әрпі түріндегі кез келген фигурасында тұрған төрт санның көбейтіндісі 100-ге тең. Кестенің жоғарғы сол жақтағы ұяшығында 2 саны жазылған. Кестенің жоғарғы оң жағындағы ұяшықта қандай сан жазылуы мүмкін? (Барлық мүмкін жауаптарды көрсетіңіз.) ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Центрі

$O$ нүктесі болатын

$\Omega$ шеңберіне дөңес

$A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ алтыбұрышы іштей сызылған.

$A_1B_1$ және

$A_2B_2$ сәулелері

$P$ нүктесінде, ал

$A_1C_1$ және

$A_2C_2$ кесінділері

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$\Gamma_1$ шеңбері

$OB_1$ және

$OC_1$ түзулерін, сәйкесінше,

$B_1$ және

$C_1$ нүктелерінде жанайды, ал

$\Gamma_2$ шеңбері

$OB_2$ және

$OC_2$ түзулерін, сәйкесінше,

$B_2$ және

$C_2$ нүктелерінде жанайды.

$PQ$ түзуінің бойынан,

$\Gamma_1$ шеңберін

$\Gamma_2$ шеңберіне өткізетін гомотетияның центрі табылатындығын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(4) олимпиада