Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа


6×6 кестенің әрбір ұяшығына оң сан жазылған (жазылған сан бүтін болуы міндетті емес). Кестенің төрт ұяшықтан құралған «Г» әрпі түріндегі кез келген фигурасында тұрған төрт санның көбейтіндісі 100-ге тең. Кестенің жоғарғы сол жақтағы ұяшығында 2 саны жазылған. Кестенің жоғарғы оң жағындағы ұяшықта қандай сан жазылуы мүмкін? (Барлық мүмкін жауаптарды көрсетіңіз.) ( П. Кожевников )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 5.
Решение. Рассматривая две фигурки с совпадающими прямоугольниками 1×3 и противоположно направленными прямоугольниками 1×2, легко убедиться, что два числа, стоящие в одной строке или одном столбце через одно, равны. Пусть в левом верхнем квадрате 2×2 записаны числа a и b (в верхней строке) и c и d (в нижней строке). Тогда чётные (снизу вверх) строки таблицы имеют вид ababab, а нечётные — cdcdcd.
   Нетрудно подобрать две фигурки, в одной из которых стоят буквы a, c, d, c, а в другой — буквы b, d, b, a. Отсюда ac2d=ab2dc2=b2c=b. Аналогично доказывается, что a=d. Таким образом, если раскрасить клетки таблицы в шахматном порядке, то в клетках одного цвета будут стоять числа a, а в клетках другого цвета — числа b, и 100=a2b2. При этом одно из чисел (пусть a) по условию равно 2, откуда b2=25 и b=5. А так как левый и правый верхние углы доски — разных цветов, то в правом верхнем стоит b=5.