Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, III тур дистанционного этапа

$6\times 6$ кестенің әрбір ұяшығына оң сан жазылған (жазылған сан бүтін болуы міндетті емес). Кестенің төрт ұяшықтан құралған «Г» әрпі түріндегі кез келген фигурасында тұрған төрт санның көбейтіндісі 100-ге тең. Кестенің жоғарғы сол жақтағы ұяшығында 2 саны жазылған. Кестенің жоғарғы оң жағындағы ұяшықта қандай сан жазылуы мүмкін? (Барлық мүмкін жауаптарды көрсетіңіз.) ( П. Кожевников )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 5.
Решение. Рассматривая две фигурки с совпадающими прямоугольниками $1\times 3$ и противоположно направленными прямоугольниками $1\times 2$, легко убедиться, что два числа, стоящие в одной строке или одном столбце через одно, равны. Пусть в левом верхнем квадрате $2\times 2$ записаны числа $a$ и $b$ (в верхней строке) и $c$ и $d$ (в нижней строке). Тогда чётные (снизу вверх) строки таблицы имеют вид $ababab$, а нечётные — $cdcdcd$.
   Нетрудно подобрать две фигурки, в одной из которых стоят буквы $a$, $c$, $d$, $c$, а в другой — буквы $b$, $d$, $b$, $a$. Отсюда $ac^2d = ab^2d \Rightarrow c^2 = b^2 \Rightarrow c = b$. Аналогично доказывается, что $a=d$. Таким образом, если раскрасить клетки таблицы в шахматном порядке, то в клетках одного цвета будут стоять числа $a$, а в клетках другого цвета — числа $b$, и $100 = a^2b^2$. При этом одно из чисел (пусть $a$) по условию равно 2, откуда $b^2 = 25$ и $b = 5$. А так как левый и правый верхние углы доски — разных цветов, то в правом верхнем стоит $b = 5$.