қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку — со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.
(
методкомиссия
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $AB = AK$. Отрезок $AK$ пересекает биссектрису $CL$ в ее середине. Найдите острые углы треугольника $ABC$.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Даны натуральные числа $a$ и $b$, причем $a < 1000$. Докажите, что если $a^{21}$ делится на $b^{10}$, то $a^2$ делится на $b$.
(
П. Кожевников
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)