методкомиссия
Задача №1. Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел. ( методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. В каждую клетку таблицы 2012×2012 вписан либо нуль, либо единица, причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы. Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят нули, а другой — единицы. ( И. Рубанов, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. На стороне AB треугольника ABC с углом в 100∘ при вершине C взяты точки P и Q такие, что AP=BC и BQ=AC. Пусть M, N, K — середины отрезков AB, CP, CQ соответственно. Найдите угол NMK. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. Дан равносторонний треугольник ABC. Точка D выбрана на продолжении стороны AB за точку A, точка E — на продолжении BC за точку C, а точка F — на продолжении AC за точку C так, что CF=AD и AC+EF=DE. Найдите угол BDE. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. Точки M и N — середины биссектрис AK и CL треугольника ABC соответственно. Докажите, что угол ABC прямой тогда и только тогда, когда ∠MBN=45∘. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада