методкомиссия

Задача №1. Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел. ( методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. В каждую клетку таблицы

$2012 \times 2012$ вписан либо нуль, либо единица, причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы. Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят нули, а другой — единицы. ( И. Рубанов, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. На стороне

$AB$ треугольника

$ABC$ с углом в

$100 ^\circ$ при вершине

$C$ взяты точки

$P$ и

$Q$ такие, что

$AP = BC$ и

$BQ = AC$ . Пусть

$M$ ,

$N$ ,

$K$ — середины отрезков

$AB$ ,

$CP$ ,

$CQ$ соответственно. Найдите угол

$NMK$ . ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Дан равносторонний треугольник

$ABC$ . Точка

$D$ выбрана на продолжении стороны

$AB$ за точку

$A$ , точка

$E$ — на продолжении

$BC$ за точку

$C$ , а точка

$F$ — на продолжении

$AC$ за точку

$C$ так, что

$CF = AD$ и

$AC+EF = DE$ . Найдите угол

$BDE$ . ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Точки

$M$ и

$N$ — середины биссектрис

$AK$ и

$CL$ треугольника

$ABC$ соответственно. Докажите, что угол

$ABC$ прямой тогда и только тогда, когда

$\angle MBN = 45^\circ$ . ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим,

$\ldots$ , 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20? ( методкомиссия )
комментарий/решение(3) олимпиада