методкомиссия

Задача №1. Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел. ( методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. В каждую клетку таблицы $2012 \times 2012$ вписан либо нуль, либо единица, причем в каждом столбце и каждой строке есть как нули, так и единицы. Докажите, что в этой таблице найдутся две строки и два столбца такие, что на концах одной из диагоналей образованного ими прямоугольника стоят нули, а другой — единицы. ( И. Рубанов, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ с углом в $100 ^\circ$ при вершине $C$ взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $AP = BC$ и $BQ = AC$. Пусть $M$, $N$, $K$ — середины отрезков $AB$, $CP$, $CQ$ соответственно. Найдите угол $NMK$. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $A$, точка $E$ — на продолжении $BC$ за точку $C$, а точка $F$ — на продолжении $AC$ за точку $C$ так, что $CF = AD$ и $AC+EF = DE$. Найдите угол $BDE$. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN = 45^\circ$. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим, $\ldots$, 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20? ( методкомиссия )
комментарий/решение(3) олимпиада