Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1. В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим,

$\ldots$ , 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20? ( методкомиссия )
комментарий/решение(3)

Задача №2. В трапеции

$ABCD$ диагональ

$BD$ является биссектрисой угла

$ADC$ . На основаниях

$BC$ и

$AD$ выбрали точки

$X$ и

$Y$ соответственно таким образом, что

$AX = BD$ и

$AY = CD$ . Оказалось, что

$\angle BCD = 130^\circ$ . Найдите величину угла

$AXY$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение(10)

Задача №3. На экране калькулятора горит число 41. За одну операцию можно увеличить или уменьшить число на экране на 33 или 34. При этом запрещается получать числа, меньшие 1, и числа, большие 99. Через 2025 операций на экране оказалось число 50. Докажите, что в некоторый момент на экране было число 67. ( И. Рубанов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(3)

Задача №4. На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких значениях

$\alpha$ можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на

$\alpha$ л? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)