Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

В трапеции $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ADC$. На основаниях $BC$ и $AD$ выбрали точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX = BD$ и $AY = CD$. Оказалось, что $\angle BCD = 130^\circ$. Найдите величину угла $AXY$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

$\angle BCD+\angle ADC=130+\angle ADC \rightarrow \angle ADC=50 \rightarrow \angle CDB=\angle BDC=25$

$\angle CDB+\angle BCD+\angle DBC=180 \rightarrow \angle DBC=25;DC=BC=AY \Rightarrow AYCB$ параллеграм. $DC=XY \Rightarrow \angle XCD+\angle XYD=180 \rightarrow \angle XYD=50 \rightarrow \angle XYA=130=\angle BCD$

$DC=XY=CB=AX \rightarrow AY=XY$; $\angle XYA+\angle AXY+\angle XAY=180=130+2\angle AXY \rightarrow \angle AXY=25$

$\angle BDA = \angle CBD = 25$ на прямой $AD$ за точку $D$возьмем такую $D'$ что бы $XD'$ было параллельно $BD$ , т.к. $XD' = BD = AX$ $\triangle AXD'$ равнобедренный следовательнo $\angle XAD' = \angle XD'A = \angle BDA = 25$и $\triangle XAY , \triangle BDC$ равны и $\angle DBC = \angle AXY = 25$

Угол XAD не равен 25

Почему? $\angle$BDA=$\angle$XD’A=25$^\circ$паралелльны и

$\triangle$XAD-равнобедренный

Может $\triangle XAD’$ равнобедренный а не $\triangle XAD$?Я этот комент писал когда он случайно написал $\angle XAD=25^\circ$ вместо $\angle XAD’=25^\circ$

Ведь $D’$ не за продолжением $AD$ за точку $D$?

Аа все понял извини

Так как $AX=BD$, трапеция $ABXD$ вписанный, значить $\angle CDB=\angle BDA=\angle DAX=\angle DBX=25^\circ$. Треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle AXY$, так как $AX=BD,$ $AY=CD$, и $\angle XAY=\angle CDB=25^\circ$. Значить $\angle AXY=\angle CBD=25^\circ$