Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

Есеп №1. Жыл басында аралас жекпе-жек лигасындағы 150 спортшының әрқайсысына 1-ден 150-ге дейінгі нөмірлер берілді. Жыл ішінде 149 жекпе-жек өткізілді: бірінші мен екінші арасында, екінші мен үшінші арасында,

$\ldots$ , 149-шы мен 150-ші арасында. Жыл соңында сол жылы жекпе-жекке шығып, барлық қарсыласын жеңген барлық спортшылардың тізімі жасалды. Бұл тізімге нөмірлері 17-ге және нөмірлері 20-ға бөлінетін барлық спортшылар кіруі мүмкін бе? ( методкомиссия )
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABCD$ трапециясының

$BD$ диагоналі

$ADC$ бұрышының биссектрисасы болып келеді.

$BC$ және

$AD$ табандарында, сәйкесінше,

$X$ және

$Y$ нүктелері

$AX = BD$ және

$AY = CD$ болатындай алынған. Егер

$\angle BCD = 130^\circ$ болса,

$AXY$ бұрышын табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(10)

Есеп №3. Калькулятор экраны 41 санын көрсетіп тұр. Бір операцияда экрандағы санды 33-ке немесе 34-ке ұлғайтуға немесе кемітуге болады, бірақ экранда 1-ден кіші және 99-дан үлкен санды алуға рұқсат етілмейді. 2025 операциядан кейін экрандағы сан 50-ге тең болған. Қандай да бір мезетте экранда 67-ге тең сан болғанын дәлелдеңіз. ( И. Рубанов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Тақтада қатар келген бірнеше (кемінде екі) натурал сан жазылған. Жазылған барлық жұп сандардың қосындысы натурал санның квадраты, және барлық жазылған тақ сандардың қосындысы да натурал санның квадраты болуы мүмкін бе? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Үстелде әр 4 қатарда 3 ыдыстан орналасқан 12 ыдыс бар. Әрбір ыдыста судың кейбір (нөлге тең бола алатын) мөлшері бар. Әр қатардағы ыдыстардағы судың жалпы мөлшері 1 литр екені белгілі.

$\alpha$ -ның қандай мәндерінде «үстелде осы екі ыдыстағы су мөлшерінің айырмашылығы

$\alpha$ литрден аспайтын екі ыдыс табылады» деп тұжырым жасауға болады? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)