қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа
Есеп №1. Жыл басында аралас жекпе-жек лигасындағы 150 спортшының әрқайсысына 1-ден 150-ге дейінгі нөмірлер берілді. Жыл ішінде 149 жекпе-жек өткізілді: бірінші мен екінші арасында, екінші мен үшінші арасында, $\ldots$, 149-шы мен 150-ші арасында. Жыл соңында сол жылы жекпе-жекке шығып, барлық қарсыласын жеңген барлық спортшылардың тізімі жасалды. Бұл тізімге нөмірлері 17-ге және нөмірлері 20-ға бөлінетін барлық спортшылар кіруі мүмкін бе?
(
методкомиссия
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $ABCD$ трапециясының $BD$ диагоналі $ADC$ бұрышының биссектрисасы болып келеді. $BC$ және $AD$ табандарында, сәйкесінше, $X$ және $Y$ нүктелері $AX = BD$ және $AY = CD$ болатындай алынған. Егер $\angle BCD = 130^\circ$ болса, $AXY$ бұрышын табыңыз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(11)
комментарий/решение(11)
Есеп №3. Калькулятор экраны 41 санын көрсетіп тұр. Бір операцияда экрандағы санды 33-ке немесе 34-ке ұлғайтуға немесе кемітуге болады, бірақ экранда 1-ден кіші және 99-дан үлкен санды алуға рұқсат етілмейді. 2025 операциядан кейін экрандағы сан 50-ге тең болған. Қандай да бір мезетте экранда 67-ге тең сан болғанын дәлелдеңіз.
(
И. Рубанов,
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Тақтада қатар келген бірнеше (кемінде екі) натурал сан жазылған. Жазылған барлық жұп сандардың қосындысы натурал санның квадраты, және барлық жазылған тақ сандардың қосындысы да натурал санның квадраты болуы мүмкін бе?
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Үстелде әр 4 қатарда 3 ыдыстан орналасқан 12 ыдыс бар. Әрбір ыдыста судың кейбір (нөлге тең бола алатын) мөлшері бар. Әр қатардағы ыдыстардағы судың жалпы мөлшері 1 литр екені белгілі. $\alpha$-ның қандай мәндерінде «үстелде осы екі ыдыстағы су мөлшерінің айырмашылығы $\alpha$ литрден аспайтын екі ыдыс табылады» деп тұжырым жасауға болады?
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)