Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

На экране калькулятора горит число 41. За одну операцию можно увеличить или уменьшить число на экране на 33 или 34. При этом запрещается получать числа, меньшие 1, и числа, большие 99. Через 2025 операций на экране оказалось число 50. Докажите, что в некоторый момент на экране было число 67. ( И. Рубанов, А. Кузнецов )

Комментарий/решение

После 2 операций сравнимость по модулю изменяется не более чем на единицу. После первой операций по модулю 67 это будет сравнимо с 7 или 8, и в конце должно стать равным 50. Если оно пройдет через 0 то задача решена а если нет то, по пути в каком то моменте после двух последовательных операций оно должно увеличиться с 33 до 34.Но тогда первой из двух операций,оно станет сравнимо с 0, что и требовалась

Біз 67 санын кездестірмедік деп есептейік. Демек біз 33 болғада 66 ға бара аламыз. 66 дан 32 ге және 99 ға ғана бара аламыз. Екеуіненде 65 ке ғана бара аламыз. 65 тен 31 ге және 98 ге бара аламыз. Дәл осылай кете береді. Соныңда 35 тен 1 ге және 68 ге бара аламыз. Екеуіненде 34 ке бара аламыз. Демек 66 дан 65 ке 2 операцияда, 65 тен 64 ке 2 операцияда ... 35 тен 34 ке 2, және 34 тен 66 жұп операциядан кейін бара аламыз. Біз басында 41 де болғандықтан, 50 ге жұп операцияда жетеміз. Бірақ 2025 операцияда 50 де болды. Демек бір рет осы кестедегі саннан басқа саңға түсу керек. Ол 67

В начале, после любой операций, нам придется делать обратную операцию:

$41 + 33 = 74 - 33,34$ (Аналогично с минусом). Значит, каждые $2$ хода, возможен сдвиг не больше, чем на $1$.

Перед 2025 ходом, числа будут таковы:

$$1) 50 + 33; 34 = 83; 84

2) 50 - 33; 34 = 17; 16$$

Внутри поля чисел $34-66$, мы $50$ к $2025$ ходу не добьемся, ведь

Там возможны лишь эти операций, которые берут по $2$ хода, что четно. А $2025$ нечетно. Тогда нужно дойти до чисел $83,84$. Но по пути наткнемся на $67$. Значит нужны $16,17$. Но при переходе с $34$ на $33$ произойдет это:

$$1) 34+33=67, 2) 67-34=33$$

Значит, мы в любом случае наткнемся на $67$, ч. т. д.