Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких значениях $\alpha$ можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на $\alpha$ л? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Ответ: При $\alpha \geq \frac{1}{17}$.

Решение:

Пусть таких сосудов нет. Пусть

$k_0 \leq k_1 \leq ... \leq k_{11}$ - количества воды в сосудах; назовём индексом

сосуда его номер в этом ряду. Заметим, что $k_0 \geq 0$ и $k_і > \alpha \cdot i$ при

$і \geq 1$. Сумма всех индексов равна

$0+1+...+11= 66$, поэтому найдётся ряд, сумма индексов в котором не меньше, чем $17$. Тогда суммарное количество

воды в этом ряду больше $17\alpha$, откуда

$\alpha < \frac{1}{17}$.

Поэтому все $\alpha \geq \frac{1}{17}$ подходят.