Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа? ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Пусть выписано \( 2k \) чисел, начиная с числа \( n \). Тогда одна из сумм:

$$S_1 = n + (n+2) + \dots + (n+2k-2) = \frac{(n + n + 2k - 2) \cdot k}{2} = (n + k - 1) \cdot k$$

Другая сумма:

$$S_2 = (n+1) + (n+3) + \dots + (n+2k-1) = \frac{(n + 1 + n + 2k - 1) \cdot k}{2} = (n + k) \cdot k$$

Если выписано \( 2k + 1 \) чисел, начиная с \( n \), то одна из сумм:

$$S_1 = (n+1) + (n+3) + \dots + (n+2k-1) = \frac{(n + 1 + n + 2k - 1) \cdot k}{2} = (n + k) \cdot k$$

А другая:

$$S_2 = n + (n+2) + \dots + (n+2k) = \frac{(n + n + 2k) \cdot (k+1)}{2} = (n + k) \cdot (k + 1)$$

В обоих случаях частное \( \frac{S_2}{S_1} \) равно отношению \( \frac{m}{l} \) двух последовательных натуральных чисел, где

\( m = n + k \) и \( l = k \), если выписано \( 2k \) чисел, и \( m = k + 1 \), если выписано \( 2k + 1 \) чисел.

Допустим, что выполнено условие задачи:

$$S_1 = u^2, \quad S_2 = v^2$$

где \( u \) и \( v \) – натуральные числа. Тогда по доказанному есть такое натуральное \( m \), что:

$$(m+1)u^2 = mv^2.$$

Можно считать, что числа \( u \) и \( v \) взаимно просты (иначе поделим на их НОД, и равенство (*) сохранится). Значит, \( m = t^2 \). Число \( t \) должно быть делителем числа \( m+1 \), но так как \( m \) и \( m+1 \) взаимно просты, то \( t = 1 \), $Аналогично$ $для$ $другого$ $и$ $получаем$ $ответ$ $что$ $такое$ $не$ $может$ $быть$