Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа? ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Пусть выписано $2k$ чисел, начиная с числа $n$. Тогда одна из сумм:

$$S_1 = n + (n+2) + \dots + (n+2k-2) = \frac{(n + n + 2k - 2) \cdot k}{2} = (n + k - 1) \cdot k$$

Другая сумма:

$$S_2 = (n+1) + (n+3) + \dots + (n+2k-1) = \frac{(n + 1 + n + 2k - 1) \cdot k}{2} = (n + k) \cdot k$$

Если выписано $2k + 1$ чисел, начиная с $n$, то одна из сумм:

$$S_1 = (n+1) + (n+3) + \dots + (n+2k-1) = \frac{(n + 1 + n + 2k - 1) \cdot k}{2} = (n + k) \cdot k$$

А другая:

$$S_2 = n + (n+2) + \dots + (n+2k) = \frac{(n + n + 2k) \cdot (k+1)}{2} = (n + k) \cdot (k + 1)$$

В обоих случаях частное $\frac{S_2}{S_1}$ равно отношению $\frac{m}{l}$ двух последовательных натуральных чисел, где

$m = n + k$ и $l = k$, если выписано $2k$ чисел, и $m = k + 1$, если выписано $2k + 1$ чисел.

Допустим, что выполнено условие задачи:

$$S_1 = u^2, \quad S_2 = v^2$$

где $u$ и $v$ – натуральные числа. Тогда по доказанному есть такое натуральное $m$, что:

$$(m+1)u^2 = mv^2.$$

Можно считать, что числа $u$ и $v$ взаимно просты (иначе поделим на их НОД, и равенство (*) сохранится). Значит, $m = t^2$. Число $t$ должно быть делителем числа $m+1$, но так как $m$ и $m+1$ взаимно просты, то $t = 1$, $Аналогично$ $для$ $другого$ $и$ $получаем$ $ответ$ $что$ $такое$ $не$ $может$ $быть$