Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур регионального этапа

Тақтада қатар келген бірнеше (кемінде екі) натурал сан жазылған. Жазылған барлық жұп сандардың қосындысы натурал санның квадраты, және барлық жазылған тақ сандардың қосындысы да натурал санның квадраты болуы мүмкін бе? ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Пусть выписано $2k$ чисел, начиная с числа $n$. Тогда одна из сумм:

$$S_1 = n + (n+2) + \dots + (n+2k-2) = \frac{(n + n + 2k - 2) \cdot k}{2} = (n + k - 1) \cdot k$$

Другая сумма:

$$S_2 = (n+1) + (n+3) + \dots + (n+2k-1) = \frac{(n + 1 + n + 2k - 1) \cdot k}{2} = (n + k) \cdot k$$

Если выписано $2k + 1$ чисел, начиная с $n$, то одна из сумм:

$$S_1 = (n+1) + (n+3) + \dots + (n+2k-1) = \frac{(n + 1 + n + 2k - 1) \cdot k}{2} = (n + k) \cdot k$$

А другая:

$$S_2 = n + (n+2) + \dots + (n+2k) = \frac{(n + n + 2k) \cdot (k+1)}{2} = (n + k) \cdot (k + 1)$$

В обоих случаях частное $\frac{S_2}{S_1}$ равно отношению $\frac{m}{l}$ двух последовательных натуральных чисел, где

$m = n + k$ и $l = k$, если выписано $2k$ чисел, и $m = k + 1$, если выписано $2k + 1$ чисел.

Допустим, что выполнено условие задачи:

$$S_1 = u^2, \quad S_2 = v^2$$

где $u$ и $v$ – натуральные числа. Тогда по доказанному есть такое натуральное $m$, что:

$$(m+1)u^2 = mv^2.$$

Можно считать, что числа $u$ и $v$ взаимно просты (иначе поделим на их НОД, и равенство (*) сохранится). Значит, $m = t^2$. Число $t$ должно быть делителем числа $m+1$, но так как $m$ и $m+1$ взаимно просты, то $t = 1$, $Аналогично$ $для$ $другого$ $и$ $получаем$ $ответ$ $что$ $такое$ $не$ $может$ $быть$