методкомиссия

Есеп №1. Қатар келген жеті натурал санның әрқайсысын 1-ге (арртыруға немесе кемітуге) өзгертуге болса, онда өзгертілгеннен кейінгі жеті санның көбейтіңдісі бастапқы жеті санның көбейтіңдісіне тең болатыңдай қандай да бір қатар келген жеті натурал сан табыңыз. ( методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2.

$2012 \times 2012$ тақтасының әр шаршысына нөл немесе бір саны жазылған, және де әр қатарда да, бағанда да нөл саны да, бір саны да бар. Екі қатардан және екі бағаннан құралған тіктөртбұрыштың бір диагоналінің соңында нөлдер, екіншісінде бірліктер болатындай екі қатар мен екі бағана табылатының дәлелде. ( И. Рубанов, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$C$ төбесіндегі бұрышы

$100 ^\circ$ болатын

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ қабырғасынан

$AP=BC$ және

$BQ=AC$ болатындай

$P$ және

$Q$ нүктелері алынған.

$M$ ,

$N$ ,

$K$ нүктелері сәкесінше

$AB$ ,

$CP$ ,

$CQ$ кесінділерінің орталары болсын.

$NMK$ бұрышын анықтаңдар. ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Теңқабырғалы

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$AB$ қабырғасының

$A$ -дан ары қарай созындысынан

$D$ ,

$BC$ қабырғасының

$C$ -дан ары қарай созындысынан

$E$ , ал

$AC$ қабырғасының

$C$ -дан ары қарай созындысынан

$F$ нүктелері

$CF=AD$ және

$AC+EF=DE$ болатындай алынған.

$BDE$ бұрышын табыңыз. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5.

$M$ және

$N$ нүктелері —

$ABC$ үшбұрышының сәйкесінше

$AK$ және

$CL$ биссектрисаларының орталары.

$\angle ABC=90^\circ$ теңдігі тек

$\angle MBN=45^\circ$ болғанда және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдендер. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Жыл басында аралас жекпе-жек лигасындағы 150 спортшының әрқайсысына 1-ден 150-ге дейінгі нөмірлер берілді. Жыл ішінде 149 жекпе-жек өткізілді: бірінші мен екінші арасында, екінші мен үшінші арасында,

$\ldots$ , 149-шы мен 150-ші арасында. Жыл соңында сол жылы жекпе-жекке шығып, барлық қарсыласын жеңген барлық спортшылардың тізімі жасалды. Бұл тізімге нөмірлері 17-ге және нөмірлері 20-ға бөлінетін барлық спортшылар кіруі мүмкін бе? ( методкомиссия )
комментарий/решение(3) олимпиада