Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, I тур регионального этапа

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел. ( методкомиссия )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Подходят, например, числа от 3 до 9: заменим 3 на 2, 4 на 5, 5 на 6, а числа в каждой из пар (6, 7) и (8, 9) заменим друг на друга. В итоге получаем $3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9 = 2\cdot5\cdot6\cdot7\cdot6\cdot9\cdot8$.
Замечание. Если удалось изменить на 1 каждое из $n$ идущих подряд натуральных чисел $m, \dots , m+n-1$ так, чтобы их произведение сохранилось, то можно сделать то же самое и с $n+2$ идущими подряд натуральными числами $m, \dots , m+n-1, m+n, m+n+1$: достаточно к подходящим заменам чисел $m, \dots , m+n-1$ добавить замены $(m+n) \longleftrightarrow (m+n+1)$. Именно так был построен пример из нашего решения: сначала найдены три подходящих числа 3, 4, 5, а потом к ним добавлены пары чисел 6, 7 и 8, 9. Добавляя следующие пары, мы получим примеры для любого нечётного количества идущих подряд натуральных чисел. Очевидным образом строятся примеры и для любого чётного количества идущих подряд натуральных чисел.