Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Региональный этап

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур регионального этапа

Точки

$M$ и

$N$ — середины биссектрис

$AK$ и

$CL$ треугольника

$ABC$ соответственно. Докажите, что угол

$ABC$ прямой тогда и только тогда, когда

$\angle MBN = 45^\circ$ . ( методкомиссия, А. Кузнецов )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть угол $ABC$ — прямой (см. рис. справа). Тогда $BM$ и $BN$ — медианы в прямоугольных треугольниках $ABK$ и $CBL$ , откуда $\angle MBA = \angle MAB = \angle BAC/2$ и $\angle NBC =\angle NCB = \angle BCA/2$ . Значит, $\angle MNB = 90^\circ-(\angle BAC+\angle BCA)/2 = 45^\circ$ .

Пусть угол

$ABC$ — тупой (см. рис. внизу). Обозначим через

$R$ и

$T$ середины сторон

$AB$ и

$AC$ соответственно. Тогда точка

$M$ лежит на средней линии

$TR$ треугольника

$ABC$ . Как известно, в тупоугольном треугольнике медиана тупого угла короче половины стороны, к которой она проведена, то есть

$TB < TA$ . Поскольку

$TR$ — медиана в треугольнике

$ATB$ , отсюда следует, что основание биссектрисы этого треугольника, проведённой из вершины

$T$ , лежит на отрезке

$RB$ . Значит, точка пересечения биссектрис этого треугольника лежит на отрезке

$MK$ . Аналогично, точка пересечения биссектрис треугольника

$CTB$ лежит на отрезке

$NL$ . Следовательно,

$\angle MBN = \angle MBT+\angle NBT > (\angle ABT+\angle CBT)/2 = \angle ABC/2 > 45^\circ$ .

Аналогично доказывается, что если угол

$ABC$ острый (см. рис. внизу), то точки пересечения биссектрис треугольников

$ATB$ и

$BTC$ лежат на отрезках

$AM$ и

$CN$ соответственно, откуда

$\angle MBN < \angle ABC/2 < 45^\circ$ .

Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, II тур регионального этапа

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур регионального этапа