Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры


M және N нүктелері — ABC үшбұрышының сәйкесінше AK және CL биссектрисаларының орталары. ABC=90 теңдігі тек MBN=45 болғанда және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдендер. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть угол ABC — прямой (см. рис. справа). Тогда BM и BN — медианы в прямоугольных треугольниках ABK и CBL, откуда MBA=MAB=BAC/2 и NBC=NCB=BCA/2. Значит, MNB=90(BAC+BCA)/2=45.

Пусть угол ABC — тупой (см. рис. внизу). Обозначим через R и T середины сторон AB и AC соответственно. Тогда точка M лежит на средней линии TR треугольника ABC. Как известно, в тупоугольном треугольнике медиана тупого угла короче половины стороны, к которой она проведена, то есть TB<TA. Поскольку TR — медиана в треугольнике ATB, отсюда следует, что основание биссектрисы этого треугольника, проведённой из вершины T, лежит на отрезке RB. Значит, точка пересечения биссектрис этого треугольника лежит на отрезке MK. Аналогично, точка пересечения биссектрис треугольника CTB лежит на отрезке NL. Следовательно, MBN=MBT+NBT>(ABT+CBT)/2=ABC/2>45.

Аналогично доказывается, что если угол ABC острый (см. рис. внизу), то точки пересечения биссектрис треугольников ATB и BTC лежат на отрезках AM и CN соответственно, откуда MBN<ABC/2<45.