Эйлер атындағы олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры
AB=AK болатыңдай ABC тікбұрышты үшбұрышының BC гипотенузасынан K нүктесі алынған. AK кесіндісі CL биссектрисасын оның ортасында қиып өтеді. ABC үшбұрышының сүйір бұрыштарын табыңыз.
(
И. Богданов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. ∠B=54∘ , ∠C=36∘.
Решение. Обозначим середину биссектрисы CL через P, а угол ABC через β ; тогда ∠ACL=(90∘−β)/2. В прямоугольном треугольнике ACL отрезок AP является медианой, поэтому AP=CP=LP. Теперь из равнобедренных треугольников APL и ABK получаем ∠ALP=∠LAP=∠BAK=180∘−2∠ABK=180∘−2β. С другой стороны, ∠ALP=∠ABC+∠LCB как внешний угол в △BCL. Значит, 180∘−2β=β+(90∘−β)/2, откуда 5β/2=135∘, то есть β=54∘. Тогда ∠ACB=90∘−∠ABC=36∘.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.