Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


AB=AK болатыңдай ABC тікбұрышты үшбұрышының BC гипотенузасынан K нүктесі алынған. AK кесіндісі CL биссектрисасын оның ортасында қиып өтеді. ABC үшбұрышының сүйір бұрыштарын табыңыз. ( И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. B=54 , C=36.
Решение. Обозначим середину биссектрисы CL через P, а угол ABC через β ; тогда ACL=(90β)/2. В прямоугольном треугольнике ACL отрезок AP является медианой, поэтому AP=CP=LP. Теперь из равнобедренных треугольников APL и ABK получаем ALP=LAP=BAK=1802ABK=1802β. С другой стороны, ALP=ABC+LCB как внешний угол в BCL. Значит, 1802β=β+(90β)/2, откуда 5β/2=135, то есть β=54. Тогда ACB=90ABC=36.