Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, I тур регионального этапа

На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $AB = AK$. Отрезок $AK$ пересекает биссектрису $CL$ в ее середине. Найдите острые углы треугольника $ABC$. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $\angle B = 54 ^\circ$ , $\angle C = 36 ^\circ$.
Решение. Обозначим середину биссектрисы $CL$ через $P$, а угол $ABC$ через $\beta$ ; тогда $\angle ACL = (90 ^\circ -\beta )/2$. В прямоугольном треугольнике $ACL$ отрезок $AP$ является медианой, поэтому $AP = CP = LP$. Теперь из равнобедренных треугольников $APL$ и $ABK$ получаем $\angle ALP = \angle LAP = \angle BAK = 180 ^\circ -2\angle ABK = 180 ^\circ -2\beta$. С другой стороны, $\angle ALP = \angle ABC+\angle LCB$ как внешний угол в $\triangle BCL$. Значит, $180 ^\circ -2\beta = \beta +(90 ^\circ -\beta )/2$, откуда $5\beta /2 = 135 ^\circ$, то есть $\beta = 54 ^\circ$. Тогда $\angle ACB = 90 ^\circ -\angle ABC = 36 ^\circ$.