Эйлер атындағы олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Есеп №1. Бір күні барон Мюнхгаузен қыдырудан келіп, жарты жолды 5 км/сағ жылдамдықпен, ал қыдыруға кеткен жарты уақытты 6 км/сағ жылдамдықпен жүрдім депті. Ол қателесіп кеткен жоқ па? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Қатар келген жеті натурал санның әрқайсысын 1-ге (арртыруға немесе кемітуге) өзгертуге болса, онда өзгертілгеннен кейінгі жеті санның көбейтіңдісі бастапқы жеті санның көбейтіңдісіне тең болатыңдай қандай да бір қатар келген жеті натурал сан табыңыз. ( методкомиссия )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$AB=AK$ болатыңдай

$ABC$ тікбұрышты үшбұрышының

$BC$ гипотенузасынан

$K$ нүктесі алынған.

$AK$ кесіндісі

$CL$ биссектрисасын оның ортасында қиып өтеді.

$ABC$ үшбұрышының сүйір бұрыштарын табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$a < 1000$ болатыңдай

$a$ және

$b$ натурал сандары берілген.

$a^{21}$ саны

$b^{10}$ санына бөлінсе, онда

$a^2$ саны

$b$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1)