Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


a<1000 болатыңдай a және b натурал сандары берілген. a21 саны b10 санына бөлінсе, онда a2 саны b санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( П. Кожевников )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Предположим, что утверждение задачи неверно; тогда найдётся простое число p, входящее в разложение числа a2 на простые множители с показателем меньшим, чем в разложение числа b. То есть, если a делится на pk, но не делится на pk+1, а b делится на pm, но не делится на pm+1, то m>2k, а значит, m2k+1. Но из делимости a21 на b10 следует, что 21k10m. Отсюда 21k10(2k+1), то есть k10. Но a<1000<210p10pk, поэтому a не может делиться на pk. Противоречие.