Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1.  100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр — просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$, $AC \parallel DE$, $CE \perp BC$. Докажите, что $EC$ — биссектриса угла $BED$. ( П. Кожевников )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечетными знаменателями, большими $10^{10}$. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100? ( И. Богданов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске $9 \times 9$ (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая не била никакую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьет две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бoльшим номером, а чёрная — две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).

( А. Антропов )
комментарий/решение(1)

---