21-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2025 год

Центрі $O$ нүктесі болатын $\Omega$ шеңберіне дөңес $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ алтыбұрышы іштей сызылған. $A_1B_1$ және $A_2B_2$ сәулелері $P$ нүктесінде, ал $A_1C_1$ және $A_2C_2$ кесінділері $Q$ нүктесінде қиылысады. $\Gamma_1$ шеңбері $OB_1$ және $OC_1$ түзулерін, сәйкесінше, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде жанайды, ал $\Gamma_2$ шеңбері $OB_2$ және $OC_2$ түзулерін, сәйкесінше, $B_2$ және $C_2$ нүктелерінде жанайды. $PQ$ түзуінің бойынан, $\Gamma_1$ шеңберін $\Gamma_2$ шеңберіне өткізетін гомотетияның центрі табылатындығын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Паскаль на $A_1B_1C_2A_2B_2C_1$ =>> $B_2C_1 \cap B_1C_2=R$ и $P-R-Q$. Пусть $O_1$ и $O_2$ центры $\Gamma_1, \Gamma_2$ окружностей. Тогда при инверсии относительно $\Omega$ , $O_1=>> M, O_2=>>N, R=>>K$ где $K$ точка микеля четырехугольника $C_1B_2C_2B_1$ а $M,N$ середины сторон $C_1,B_1$ и $C_2B_2$. По свойству точки микеля $OMNK$ вписанный значит $O_1-R-O_2$.

$C_2B_1 \cap \Gamma=F$ тогда не сложным счетом углов выходит что $\angle C_2C_1F=90$ и $FO_1||C_2O_2$. Отсюда следует требуемое.

Пусть $T$ пересечение касательных к $\Omega$ в $B_1$ $C_2$.$w_1$ окружность с центром $T$ и с радиусом $TB_1$.Из теоремы о трёх гомотетиях к $w_1$ ,$\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, $B_1C_2$ проходит через центр гомотетии.Аналогично $C_1B_2$.Иисполняем Паскаль к $A_1B_1C_1A_2B_2C_2$ и находим требуемое

$O_1, O_2$ - центры $\Gamma_1,\Gamma_2$. Заметим, что $C_1O_1,B_1O_1,C_2O_2$ касаются $\Omega$, поэтому для $R=B_1C_1\cap B_2C_2$ $O_1O_2$ является полярой. Теорема Паскаля для $B_1A_1C_1B_2A_2C_2$ дает $D=C_1B_2\cap C_2B_1$ лежит на $PQ$ и $R$ лежит на поляре $D\Leftrightarrow$ $D$ лежит на $O_1O_2$. $O_2B_2\cap C_1O_1=K$. По теореме Менелая для $\triangle O_2KO_1$ и секущей $C_1-B_2-D$ получаем, что $\frac{O_2B_2\cdot KC_1\cdot O_1D}{B_2K\cdot C_1O_1\cdot DO_2}=1$, где $KC_1=KB_2$, как касательные к $\Omega$ из точки $K$, поэтому $\frac{O_1D}{DO_2}=\frac{O_1C_1}{O_2B_2}$, то есть отношение радиусов.

Почему эта задача всё ещё не признана худшей задачей в истории