21-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2025 год

В окружность $\Omega$ с центром $O$ вписан выпуклый шестиугольник $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$. Лучи $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $A_1C_1$ и $A_2C_2$ — в точке $Q$. Окружность $\Gamma_1$ касается прямых $OB_1$ и $OC_1$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно, а окружность $\Gamma_2$ касается прямых $OB_2$ и $OC_2$ в точках $B_2$ и $C_2$ соответственно. Докажите, что существует гомотетия с центром на прямой $PQ$, переводящая $\Gamma_1$ в $\Gamma_2$. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Паскаль на $A_1B_1C_2A_2B_2C_1$ =>> $B_2C_1 \cap B_1C_2=R$ и $P-R-Q$. Пусть $O_1$ и $O_2$ центры $\Gamma_1, \Gamma_2$ окружностей. Тогда при инверсии относительно $\Omega$ , $O_1=>> M, O_2=>>N, R=>>K$ где $K$ точка микеля четырехугольника $C_1B_2C_2B_1$ а $M,N$ середины сторон $C_1,B_1$ и $C_2B_2$. По свойству точки микеля $OMNK$ вписанный значит $O_1-R-O_2$.

$C_2B_1 \cap \Gamma=F$ тогда не сложным счетом углов выходит что $\angle C_2C_1F=90$ и $FO_1||C_2O_2$. Отсюда следует требуемое.

Пусть $T$ пересечение касательных к $\Omega$ в $B_1$ $C_2$.$w_1$ окружность с центром $T$ и с радиусом $TB_1$.Из теоремы о трёх гомотетиях к $w_1$ ,$\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, $B_1C_2$ проходит через центр гомотетии.Аналогично $C_1B_2$.Иисполняем Паскаль к $A_1B_1C_1A_2B_2C_2$ и находим требуемое

$O_1, O_2$ - центры $\Gamma_1,\Gamma_2$. Заметим, что $C_1O_1,B_1O_1,C_2O_2$ касаются $\Omega$, поэтому для $R=B_1C_1\cap B_2C_2$ $O_1O_2$ является полярой. Теорема Паскаля для $B_1A_1C_1B_2A_2C_2$ дает $D=C_1B_2\cap C_2B_1$ лежит на $PQ$ и $R$ лежит на поляре $D\Leftrightarrow$ $D$ лежит на $O_1O_2$. $O_2B_2\cap C_1O_1=K$. По теореме Менелая для $\triangle O_2KO_1$ и секущей $C_1-B_2-D$ получаем, что $\frac{O_2B_2\cdot KC_1\cdot O_1D}{B_2K\cdot C_1O_1\cdot DO_2}=1$, где $KC_1=KB_2$, как касательные к $\Omega$ из точки $K$, поэтому $\frac{O_1D}{DO_2}=\frac{O_1C_1}{O_2B_2}$, то есть отношение радиусов.

Почему эта задача всё ещё не признана худшей задачей в истории