Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

$ABC$ ($AB\neq AC$) үшбұрышында $I$ нүктесі — іштей сызылған шеңбер центрі, $I_A$ нүктесі — $BC$ қабырғасын жанайтын іштейсырт сызылған шеңбер центрі, $\Omega$ — сырттай сызылған шеңбер, ал $AD$ — биіктік. $\Omega$ шеңберінде $M$ нүктесі — $BAC$ доғасының ортасы, ал $AL$ — оның диаметрі. $IL$ және $I_AD$ түзулері $P$, ал $ID$ және $I_AL$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $S$ нүктесі үшін $SA = SM$ және $SP = SL$ теңдіктері орындалады. $AP, MQ$ және $I_AS$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )