Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC$ ($AB\neq AC$), в котором $I$ — центр вписанной окружности, $I_A$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$, $\Omega$ — описанная окружность и $AD$ — высота. Пусть $M$ — середина дуги $BAC$, а $AL$ — диаметр $\Omega$. Прямые $IL$ и $I_AD$ пересекаются в точке $P,$ а прямые $ID$ и $I_AL$ — в точке $Q.$ Точка $S$ такова, что $SA = SM$ и $SP = SL.$ Докажите, что прямые $AP, MQ$ и $I_AS$ пересекаются в одной точке. ( Зауытхан А. )