Processing math: 6%

Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 11 класс


Пусть a,b,c — положительные действительные числа такие, что max Докажите неравенство \frac{a(b+c)}{a^2+bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+ab}\le 3. ( Мирзахмедов A. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  8
1 года 10 месяца назад #

Б.О.О. a \ge b \ge c. Преобразовав получим

\iff \left( 1 - \frac{ab+ca}{a^2+bc} \right) + \left( 1 - \frac{ca+bc}{c^2+ab} \right) \ge \left( \frac{bc+ab}{b^2+ca} - 1 \right)

\iff \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc} + \frac{(a-c)(b-c)}{c^2+ab} \ge \frac{(a-b)(b-c)}{b^2+ca}

\iff \frac{1}{(a^2+bc)(b-c)} + \frac{1}{(c^2+ab)(a-b)} \ge \frac{1}{(b^2+ca)(a-c)}.

По КБШ получаем

\frac{1}{(a^2+bc)(b-c)} + \frac{1}{(c^2+ab)(a-b)} \ge \frac{4}{(a^2+bc)(b-c) + (c^2+ab)(a-b)}

(!) \ \frac{4}{(a^2+bc)(b-c) + (c^2+ab)(a-b)} \ge \frac{1}{(b^2+ca)(a-c)}

(!) \ 4(b^2+ca) \ge \frac{(a^2+bc)(b-c) + (c^2+ab)(a-b)}{(a-c)} = \frac{(a^2+bc)(b-c) - (c^2+ab)(b-c)}{(a-c)} + c^2 + ab

= \frac{(b-c)(a^2-c^2 + bc - ab)}{a-c} + c^2 + ab = \frac{(b-c)(a-c)(a+c - b)}{a-c} + c^2 + ab

= (b-c)(a+c-b) + c^2 + ab = -b^2 - ac +2bc + 2ab

что равносильно с 5(b^2 + ca) \ge 2b(c+a) \iff \frac{b(c+a)}{b^2+ca} \le \frac{5}{2}. что верно по условию.

  1
1 года 10 месяца назад #

Есеп авторының шешімі де сондай. Бірақ a>b>c жағдайы мен a=b немесе b=c жағдайы бөлек қарастырылады.