Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $M$, а продолжений сторон $AC$ и $BC$ — в точках $N$ и $K$ соответственно. На отрезке $NK$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AN=AP$ и $BK=BQ$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $MPQ$ равен радиусу вписанной окружности треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Достаточно доказать что треугольники $MPQ$ и $DEF$ равны, где $D, E, F$ точки касания вписанной окружности с треугольником $ABC$.

Докажем что $\triangle MPQ=\triangle DFE$, где $D,F,E$ - точки касания вписанной окружности $\triangle ABC$. Очевидно $\triangle DFE$ подобен на $\triangle PMQ$. Пусть $\angle NAP = α = \angle NCK$, получается $AFBP$ - параллелограмм, тоесть получаем требуемое. Теперь мы доказали наше утверждение, значит из этого следует что и их радиусы равны, ч.т.д.

Вписанная окружность $ABC$ касается $BC,AB,AC$ в точках $D,E,F$.$\angle ANP=\angle APN=\angle BKQ=\angle BQK=\angle CDF=\angle CFD=a$.$AM=AN=AP,BM=BK=BQ$.$\angle APM=b,\angle BQM=c$.Тогда $\angle MPQ+\angle MQP+\angle PMQ=540-2a-2b-2c=180$.$a+b+c=180$.По счёту углов находим что $\triangle DEF \cong \triangle PMQ$.Если доказать что $AE=BM$ треугольники равны по $\triangle AFE \cong \triangle BMQ$.Допустим $AE>BM$,тогда $EF>QM$,$DE<PM$.Но $EF•PM=DE•QM$.Противоречие значит два треугольника равны и радиусы их описанных окружностей равны.

Пусть прямые АР и BQ пересекаются в точке R. Так как CN = СК, то из условия AN = AP следует, что равнобедренных треугольниках ANP и CNK есть общий угол ANP, поэтому они подобны по трём углам. Следовательно, углы NAP =NCK или AR || СК. Аналогично, BR || AC. Поэтому ACBR

- параллелограмм. Следовательно, треугольник ABR центрально симметричен треугольнику ВАС

относительно середины стороны АВ. Пусть вписанная окружность треугольника АВС касается сторон

AB, ВС, СА в точках С1, А1, Вз соответственно. Также известным фактом является то, что точки М и С, также симметричны относительно середины АВ. Поэтому из равенств ВА, = BC = AM = AN = Al следует, что точки ₽ и А аналогично, и точки ( и Вт) центрально симметричны относительно середины АВ. Поэтому радиусы описанных окружностей треугольников MPQ и CA, В, равны. Это и требовалось доказать

По счету углов, не сложно заметить что $\triangle{DEF}$ подобен $\triangle{PMQ}$. Заметим, что $AM=BE=BF=p-AC$. Пусть $\angle{NAP}=2\beta$, тогда $\angle{ANP}=90-\beta=\angle{QKB}$, откуда $\angle{NCK}=2\beta=\angle{NAP}$, тоесть $KC \parallel AP$, тоесть $AFBP$ параллелограм, откуда выходит что $\triangle{DEF}=\triangle{PMQ}$, тоесть равны и их Радиусы.