Ануарбеков Т.

Есеп №1.

${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ саны

$n$ -ге бөлінетіндей, шексіз көп құрама натурал

$n$ санының бар екенін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №2.

$p=9k+1$ саны — жай сан, бұл жерде

$k$ — натурал сан.

${{n}^{3}}-3n+1$ саны

$p$ -ға бөлінетіндей бүтін

$n$ санының табылатынын дәлелдеңіздер. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$\mbox{ЕҮОБ}(a,p!)=1$ болатын натурал

$a$ және жай

$p$ саны берілген.

${{a}^{(p-1)!}}-1$ санының

$p!$ -ға бөлінетінін дәлелдеңіздер. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №4. Существуют ли простые числа

$p$ ,

$q$ и

$r$ такие, что число

$\dfrac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$ целое? ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №5. Найдите все натуральные

$n$ ,

$k$ ,

$a_1, a_2,\ldots, a_k$ такие, что

$n^{k+1}+1$ делится на

$(na_1+1)(na_2+1)\ldots(na_k+1)$ . ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №6. Жай

$p$ саны мен натурал

$k$ және

$r$ сандары берілген, әрі

$r < p$ .

$p^p + 1$ саны

$pk + r$ санына бөлінетіні белгілі болса,

$k$ санының

$r$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №7.

$a+b+c+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{19}{2}$ теңдігі орындалатындай

$a,b,c$ оң нақты сандары берілген.

$a$ -ның ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(9) олимпиада

Есеп №8. \q5

$p^3 + q^3 + r^3 = p^2qr$ теңдеуін жай сандарда шешіңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №9. Әртүрлі

$a$ және

$b$ натурал сандары үшін

$3^a + 2$ саны

$3^b + 2$ санына бөлінетіні белгілі.

$a > b^2$ екенін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №10. Оң

$a$ және

$b$ сандары үшін

$a^3+b^3=ab+1$ теңдігі орындалады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$(a-b)^2+a+b \geq 2.$ ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(10) олимпиада

Есеп №11.

$\frac{m^n+1}{n}$ саны жай сан болатындай барлық

$m$ және

$n > 2$ натурал сандар жұптарын табыңыз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(5) олимпиада