Областная олимпиада по математике, 2023 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все монотонные функции f:R→R такие, что f(x+y2023)=f(x)+f(y)2.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. В длинном узком коридоре постелено несколько дорожек(все дорожки параллельны коридору и можно считать, что ширина каждой дорожки равна ширине коридора). Докажите, что найдется дорожка, которая пересекается со всеми оставшимися, если известно, что любая дорожка пересекается не менее чем с половиной из оставшихся.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть D,E,F середины сторон BC,CA,AB соответственно. Прямая EF пересекает описанную окружность ABC в точках P и Q соответственно. Прямые AP и AQ пересекают прямую BC в точках X и Y соответственно. Докажите, что центроид треугольника AXY лежит на радикальной оси окружностей описанных около треугольников DXP и DYQ.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На карточках написаны 0,1,2,…,p−1, где p — простое. Сколькими способами можно выбрать несколько карточек так чтобы сумма чисел на карточках делилась на p?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Найдите все пары натуральных чисел m и n>2, для которых число mn+1n — простое.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №6. В графе G вершины пронумерованы числами от 1 до (p−1), где p>3 простое. Между любыми двумя вершинами x и y ставится ребро, если существует натуральное n, для которого xn+yn делится на p. Докажите, что в G существует цикл (замкнутый путь), который проходит через каждую вершину данного графа ровно по одному разу.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)