қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $f\left(\dfrac{x+y}{2023}\right)=\dfrac{f(x)+f(y)}{2}$ болатындай барлық $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ монотонды функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №2. Ұзын тар дәлізде бірнеше жол төселген(барлық жолдар дәлізге параллель және олардың еңдері дәліздің еңіне тең). Кез келген жол қалған жолдардың кем дегенде жартысымен қиылысатыны белгілі болса, онда қалған барльқ жолдармен қиылысатын жол бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $A B C$ сүйір бурышты үшбурышы берілсін. $D, E, F$ нүктелері сәйкесінmе $B C, C A, A B$ қабырғаларының ортасы. $E F$ түзуі $A B C$ үшбүрышына сырттай сызылған шеңберін $P$ және $Q$ нүктелерінде қисын. $A P$ және $A Q$ түзулері $B C$ түзуін сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қисыгн. $A X Y$ үшбурышының центроиды $D X P$ және $D Y Q$ үшбурыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің радикалдық осінің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Карталарда $0,1,2, \ldots, p-1$ сандары жазылған, бул жерде $p$ — жай сан. Бірнеше картадағы сандардың қосыгндысы p-ға бөлінетіндей қанша тәсілмен cons карталарды таңдай аламыз?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. $\frac{m^n+1}{n}$ саны жай сан болатындай барлық $m$ және $n > 2$ натурал сандар жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №6. $G$ графының төбелері 1-ден $(p-1)$-ге дейінгі сандармен нөмерленіп шықты, бул жердегі $p>3$ жай сан. Кез келген $x$ және $y$ төбелері үшін, $x^n+y^n$ саны $p$-ға бөлінетіндей $n$ саны табылса, онда сол төбелерді қабырғамен байланыстырамыз. $G$ графында барлық төбелерін тек бір рет қана өтетін цикл (тұйық жол) бар екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)